MPSI - pb de fonctions

[Anonyme]

Salut !

Je bloque sur ce début de problème :

On recherche les applications f : IR -> IR, dérivables en 0, vérifiant
f'(0) non nulle, telles que pour tout réels x,y,

xy différent de -1 => f((x+y)/(1+xy)) = f(x)f(y)

On suppose pour les premières questions l'exitence d'une telle fonction et
on notera a = f'(0).

1) Montrer que f(-1) = f(1) = 0 et f(0)

2) Démontrer que si x est un réel distinct de -1 et de 1, alors f(x) est
différent de 0.

3) Démontrer que pour tout rél t de ]-1,1[, f(t) > 0

En fait, pour la première question, je crois avoir trouver, par contre pour
les deux autres, je sais pas comment faire !

Merci d'avance !

A+

[Anonyme]

Jerome a écrit:

> Je bloque sur ce début de problème :
>
> On recherche les applications f : IR -> IR, dérivables en 0, vérifiant
> f'(0) non nulle, telles que pour tout réels x,y,
>
> xy différent de -1 => f((x+y)/(1+xy)) = f(x)f(y)
>
> On suppose pour les premières questions l'exitence d'une telle fonction et
> on notera a = f'(0).
>
> 1) Montrer que f(-1) = f(1) = 0 et f(0)

f(0) = 1 je suppose

> 2) Démontrer que si x est un réel distinct de -1 et de 1, alors f(x) est
> différent de 0.

Je te conseille de poser y = -x dans l'équation fonctionelle et de
regarder ce qu'il se passe

> 3) Démontrer que pour tout rél t de ]-1,1[, f(t) > 0

Si on pouvait écriee f(t) comme un carré, alors cela prouverait ce que
l'on veut (le strict provenant de la question précédente). Or f(x)*f(x)
= f(2x/ 1+x^2). Donc si tu montres que la fonction x -> 2x/ 1+x^2 est
surjective de R-{-1,1} sur ]-1,1[, alors c'est gagné, car tu peux alors
écrire f(y) comme f(y^-1)^2, avec y^-1 un antécédant de y par la
fonction précédente.

--
albert