DM MPSI fonction et polynôme

[Aline749]

Bonjour,
Je viens aujourd'hui vers vous à propos d'un exercice de DM qui me pose problème. Voici les questions concernées. Merci par avance pour votre aide.

Soit le polynôme P, défini par :
P(t)=\frac{x_1}{n!} + \frac{x_2}{(n+1)!}t + \frac{x_3}{(n+2)!}t^2 + ... + \frac{x_n}{(2n-1)!}t^{n-1} = \sum_{k=1}^{n}{ \frac{x_k}{(n+k-1)!}t^{k-1}}

1. On pose f(t)=t^n P(t). Calculer f(1), f'(1), ..., f^(n-1)(1).
2. En déduire les dérivées successives de P en 1.

Pour la première question s'agit-il de trouver une formule générale des dérivées en 1? Et je pensais utiliser la formule de Leibniz mais la question me fait penser que ce n'est pas adapté. Je ne sais donc que faire ici...

Je vous remercie encore par avance.
Une élève qui a besoin d'aide.

[Vassillia]

Bonjour, pour la question 1, il s'agit effectivement de trouver une formule généralisée, peux-tu essayer de donner la formule de ?
Ensuite tu peux dériver autant de fois que nécessaire.

[Aline749]

Les dénominateurs vont se simplifier à chaque à chaque fois qu'on dérive.

[Aline749]

Par récurrence, il me semble que
Pourriez-vous s'il-vous-plaît confirmer ce résultat?

[Aline749]

Pour les dérivées successives de P(1), je dirais:
donc les dérivées successives de P en 1 sont les mêmes que celles de f en 1??

[Vassillia]

Un petit truc, essaye de penser à cliquer sur tex pour encadrer tes formules, tu utilises parfaitement latex mais la formulation finale est difficilement lisible à cause de cela

Je confirme cette formule par contre tu ne pourras pas en déduire directement les dérivées successives de P en 1. Puisque , c'est peut-être maintenant qu'il faut penser à la formule de Leibniz

[Aline749]

Doit-on ici regarder f(t) ou P(t) en écrivant en excluant le cas où t=0 ?

(Désolé, je n'avais pas bien compris comment cela fonctionnait)