J'ai pas mal de difficultés avec les espaces vectoriels, ma question va donc paraître un peu bête mais bon j'essaye quand même
J'ai un exercice dont l'énoncé est le suivant :
Soient les quadruplets x1 := (1,1,1,1), x2 := (1,i,-1,-i), x3 := (1,-1,1,-1) et x4 := (1,-i,-1,i), où i est l'unité imaginaire. Monter que la suite (x1,x2,x3,x4) est une base de l'espace vectoriel C^4.
Je sais que pour que cette suite soit une base, il faut qu'elle soit génératrice et libre. J'ai réfléchi à une méthode mais je ne suis pas sûr que ça soit la bonne. Pouvez-vous m'aiguiller ?
D'après moi, il faudrait que mes vecteurs x1,x2,x3 et x4 soient indépendants. Pour ce faire il faudrait que x1,x2,x3 et x4 soient les colonnes d'une matrice A. J'échelonnerais cette matrice et si je n'obtiens pas de ligne nulle, cela suffirait pour dire que la matrice est régulière et que donc, les vecteurs sont indépendants. Une fois que je sais que les vecteurs sont indépendants, je peux dire qu'ils sont générateur de mon espace. J'ai donc bien une suite libre (indépendance des vecteurs), et une suite génératrice ... ?
Est-ce la bonne manière de faire ? Comment prouver que si des vecteurs sont indépendants, ils sont générateur de l'espace ?
Grand merci d'avance !
Bonne soirée.
