Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectoriel

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Cambacérès
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Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectoriel

par Cambacérès » 28 Sep 2021, 20:55

Bonjour à tous chers amis,
Je bute face au problème suivant:
"On rappelle que M(3,2) est l'espace vectoriel des matrices (3,2).
Montrer que l'ensemble A suivant est un sous-espace vectoriel de M(3,2):
(a,b)
(0,a)
(c,c)

(C'est une matrice 2 Colonnes 3 lignes avec a,0,c en 1ère colonne et b,a,c en 2ème colonne)

On nous dit que A appartient à M(3,2) tq a,b,c appartiennent à R.

Après avoir montré que l'ensemble A est un sous espace vectoriel, on nous demande:
-"Donner une base de cet espace"
-"Donner la dimension de cet espace"

Je n'ai hélas pas la moindre idée de par où prendre le problème. Toute idée, conseil et même solution est bienvenue. Merci d'avance:)
Modifié en dernier par Cambacérès le 30 Sep 2021, 13:10, modifié 1 fois.



Mateo_13
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Re: Montrer que l'ensemble suivant est un sous-espace vector

par Mateo_13 » 28 Sep 2021, 21:57

Bonjour Cambacérès,

il faut que tu montres que l'ensemble considéré est stable pour l'addition et pour la multiplication par un scalaire, et que l'origine appartient à cet ensemble.

Pour la stabilité pour l'addition, tu prends 2 matrices différentes de cet ensemble, et tu montres que leur somme y est aussi. Pour l'autre opération, tu fais de manière semblable.

Amicalement,

Cambacérès
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Re: Montrer que l'ensemble suivant est un sous-espace vector

par Cambacérès » 28 Sep 2021, 22:50

Merci beaucoup cher Mattéo pour ces indices.
Les 2 matrices de l'ensemble sont choisies au hasard, par exemple avec a=1, b=2, c=3 ou y'a t'il un critère de choix(?)
Pour l'origine qui appartient à cet ensemble, est ce un vecteur (0,0,0) du coup(?)
Amicalement,

catamat
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Re: Montrer que l'ensemble suivant est un sous-espace vector

par catamat » 29 Sep 2021, 12:22

Bonjour
Le vecteur nul est la matrice

Les deux matrices quelconques sont

M=

et M'=

où a, b, c, a', b' et c' sont des réels quelconques.

Cambacérès
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Re: Montrer que l'ensemble suivant est un sous-espace vector

par Cambacérès » 29 Sep 2021, 17:39

Merci beaucoup cher Catamat,
J'ai additioné la matrice
(a b )
(0 a )
(c c )
avec la matrice
(a' b')
(0 a')
(c' c')
comme vous me l'avez conseillé.
Je trouve
(a+a', b+b')
(0, a+a')
(c+c', c+c')

Pour l'usage de la matrice vecteur nul,
s'agit il de faire AX=0
Avec A=
(a b )
(0 a )
(c c )
X=(x,y,z) et
0=(0,0,0) (?)
Amicalement

catamat
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Re: Montrer que l'ensemble suivant est un sous-espace vector

par catamat » 29 Sep 2021, 17:46

Oui pour la somme
Pour le vecteur nul il suffit de voir qu'on l'obtient en prenant a=b=c=0, il est donc dans A .

Cambacérès
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Re: Montrer que l'ensemble suivant est un sous-espace vector

par Cambacérès » 29 Sep 2021, 18:00

Merci beaucoup cher Catamat pour cette explication.
Du coup avec mon énoncé :
"Montrer que l'ensemble A est un sous-espace vectoriel de M(3,2)"
Je dis que avec A(a,0,c)(b,a,c) et A'(a',0,c')(b',a',c'), A+A' nous donne
(a+a',0, c+c')(b+b',a+a',c+c')
Et que avec a=o,b=0,c=0,
A=(0,0,0)(0,0,0) et ça suffit pour montrer que l'ensemble A est un sous-espace vectoriel (?)

Ensuite j'ai deux questions :
"Donner une base de cet espace"
puis "Donner la dimension de cet espace"

Pour la base j'ai pensé faire:
a+0+c=0
et b+a+c=0
Ça nous donnerait :
a=-c
b=-a-c
ce qui avec a=-c nous donnerait b=0.
On aurait donc (a,0,-a) comme base de Dimension 1 (?)
Amicalement

Cambacérès
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Re: Montrer que l'ensemble suivant est un sous-espace vector

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 12:31

Est ce que c'est la bonne approche du coup(?)

catamat
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Re: Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectori

par catamat » 30 Sep 2021, 14:50

Plusieurs problèmes :

Sous espace vectoriel :
Il faut aussi montrer la stabilité pour la multiplication par un scalaire

C'est à dire si M est dans A et k un réel démontrer que kM est dans A

Pour la base :

Les éléments de la base sont des matrices !

Comme il y a trois réels quelconques, sans lien entre eux, dans chaque matrice de A
On trouve sans mal qu'une matrice M de A s'écrit

aM1+bM2+cM3

à vous de trouver ces trois matrices , penser à expliquer pourquoi elles sont linéairement indépendantes et donc forment une base de A.

Cambacérès
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Re: Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectori

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 15:17

Merci beaucoup pour cette réponse!
Pour démontrer que k× notre matrice A appartient à l'ensemble M(3,2)
Je pose: A×k=
(ak bk)
(0 ak)
(ck ck)
Pour k appartenant à R j'ai l'impression que A×k appartient toujours à l'ensemble M(3,2)

Pour aM1+bM2+cM3
aM1, je me dis qu'il faudrait poser a, b et c en fonction de 0 pour trouver une base comme on le fait pour trouver le noyau Ker d'une matrice "normale" -avec des chiffres et pas des lettres.
Ou bien qu'il faudrait utiliser les vecteurs canoniques (1,0,0)(0,10)(0,0,1) et les "injecter" dans la matrice A(?)
Amicalement

catamat
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Re: Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectori

par catamat » 30 Sep 2021, 20:53

Bon pour la base, je donne le début soit deux matrices sur les 3 à trouver :

M=

Cambacérès
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Re: Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectori

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 21:20

+... c×
(0 0)
(0 0)
(1 1)
(?)
Amicalement

catamat
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Re: Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectori

par catamat » 30 Sep 2021, 22:23

Oui oui

Cambacérès
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Re: Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectori

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 23:29

Merci beaucoup cher Catamat!
Du coup pour les 3 questions de l'exercice
a)Montrer que l'ensemble de la matrice A est un sous espace vectoriel de M(3,2)
b)Donner une base de cet espace
c)Quelle est la dimension de cet espace(?)
a)On obtient le vecteur nul en prenant a=b=c=0, il est donc dans A .
On fait ensuite
(a b )
(0 a )
(c c )
avec la matrice
(a' b')
(0 a')
(c' c')
comme vous me l'avez conseillé
Je trouve
(a+a', b+b')
(0, a+a')
(c+c', c+c')
Et après on montre la stabilité pour la multiplication par un scalaire.
Je pose: A×k=
(ak bk)
(0 ak)
(ck ck)
Pour k appartenant à R, on a: A×k appartient toujours à l'ensemble M(3,2)
Avec ces 3 éléments on a montré (espérons) que l'ensemble de la matrice A est un sous-espace vectoriel de M(3,2)
b)
Une base de cet espace est:
M=a×
(1 0)
(0 1)
(0 0)

(0,1)
(0,0)
(0,0)

(0 0)
(0 0)
(1 1)
Mais du coup faut il justifier comment on l'a trouvée, cette base(?)
c)
On est tenté de dire que comme on a trois matrices bases de l'espace,
la dimension de l'espace est trois.
À moins que ce ne soit 2 comme les deux lignes non nulles de la matrice(?)
Amicalement

catamat
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Re: Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectori

par catamat » 01 Oct 2021, 11:48

Oui pour la base on a montré que les trois matrices forment une famille génératrice de A, il reste à montrer qu'elle est libre, c'est à dire que si aM1+bM2+cM3=0 (matrice nulle) alors a=b=c=0

La dimension est le nombre d'éléments de la base.

Enfin on écrit kM quand on multiplie la matrice M par le réel k (réel à gauche de la matrice).

Cambacérès
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Re: Montrer qu'un ensemble M(3,2) est un sous-espace vectori

par Cambacérès » 01 Oct 2021, 11:57

Merci beaucoup cher Catamat pour cette réponse si éclairante, c'est plus clair du coup !:)

 

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