Bonjour, je suis tombé sur cet exo:
Soit
un espace métrique compact (par exemple une partie compacte de
), soit
)
la
-algèbre borélienne de
et soit
une mesure finie sur
.
Montrer que
est régulière, c'est à dire que pour tout
)
, on a
 = \sup\ \{\mu(K):\ K\subset B \mbox{ et } K \mbox{ compact}\} = \inf\ \{\mu(U):\ B\subset U \mbox{ et } U \mbox{ ouvert}\})
.
Indication: On pourra considérer l'ensemble
des
)
tels que, pour tout
, il existe
compact et
ouvert vérifiant
et
 < \varepsilon)
, et montrer que
contient au moins les ouverts.
J'ai du mal à voir pourquoi l'ensemble vide est compact. La partie vide est compacte si elle est séparée et si de tout recouvrement ouvert de
on peut extraire un sous-recouvrement fini de
.
Le seul recouvrement de
est
 = \{\emptyset\})
qui est fini.
Mais je ne vois pas comment montrer que
est séparé.
Après pour la résolution de l'exercice je crois que j'ai trouvé un plan:
1) montrer que les ouverts de
sont dans
;
2) montrer que
est une
-algèbre, et donc on a
 \subset \mathcal{A})
.
J'introduis les notations :
:\ K\subset B \mbox{ et } K \mbox{ compact}\})
, et
;
:\ B\subset U \mbox{ et } U \mbox{ ouvert}\})
, et
.
Par la croissance (au sens de l'inclusion) de la mesure
, il est clair que
 \leq b)
. Il reste à montrer que
 \geq b)
.
Ensuite, soit un entier
. Il existe un compact
et
tel que
[CENTER]
 < 1/n)
et
.[/CENTER]
D'où
 < 1/n)
et
 < 1/n)
.
Autrement dit
-\mu(B) < 1/n)
et
-\mu(K_n) < 1/n)
.
Donc
)_n)
est une suite de
et
)_n)
est une suite de
, les deux ayant pour limite
)
. Donc
.
