Mesure de comptage !

[barbu23]

Bonjour :
Est ce que vous pouvez me rappeler de l'expression de la mesure de comptage ?!
Merci d'avance !!

[B_J]

Salut;
la mesure de comptage m sur un ensemble X est la fonction positive additive sur P(X) telle que m({x})=1 pour tout x € X ;elle est donc definie par
m(A)=#A si A est fini
m(A)=sinon

[barbu23]

Salut "B_J" :
Une autre petite question :
Est ce que l'integrale de la fonction nulle est égale à la fonction constante ou bien fonction nulle !!
La derivée de la fonction constante est égale à la fonctio nulle donc l'integrale de la fonction nulle est égale à la fonction constante , c'est ça ?
Merci d'avance !!

[Joker62]

Euhhhhhh :^)
Tu te poses trop de question Barbu :D
L'intégrale de la fonction nulle, c'est une constante qui peut être nulle...
Faut voir, si t'as une condition initiale après.

[barbu23]

D'accord, merci "Joker" ... !
Et c'est quoi une fonction presque partout avec integrable positive ?! j'ai trouvé cette expression dans un passage dans le cours ... !! et d'ailleurs j'ai feuilleté tout le cours, mais j'ai pas trouvé de definition de fonction presque partout !!

[barbu23]

Voiçi comment on definit la mesure de comptage :
Pour une partie de , on pose :

est une mesure sur .
En effet :
On a :

est additive :
Soient tel que : .
On a :

suite d'éléments deux à deux disjoints de : .
.
Donc est une mesure appelé mesure de comptage !!
Je revise ... ! :lol2:

[barbu23]

Bonsoir :
"Joker" , je crois pas que ce que tu as dit est correcte :
Dans un cours de theorie de la mesure j'ai trouvé ce qui suit :
Pour mesurable positive :
presque partout.
Demonstration :
On suppose presque partout, on a alors : ... etc.
Donc : et non pas comme tu m'as dit ... ? ou est la difference ... ?!
Si quelqu'un a une idée, merci de la poster sur le coup !!
Merci d'avance !!

[legeniedesalpages]

Bonsoir Barbu,

Est ce que l'integrale de la fonction nulle est égale à la fonction constante ou bien fonction nulle !!

une intégrale est un scalaire par définition et non une fonction.

L'intégrale de la fonction nulle est nulle:

on peut voir la fonction nulle comme une fonction en escalier.
Et donc son intégrale est facile à calculer, c'est 0.

[barbu23]

Oh , ce que je suis con !! :lol2:
non mais en general on a :
avec : .
mais pourquoi, ils ont écrit simplement et non pas avec : .
Merci "legeniedesalpages" !!

[legeniedesalpages]

Parce que là on parle d'intégrale et non de primitive, non?

tss, il ne faut pas dire de grossiéretés pareilles.

[barbu23]

Je dors pas bien ces derniers temps !! :lol2:
D'accord !! merci "legeniedesalpages" !!
Mais par rapport à quelle partie de .. C'est à dire : pour n'importe quel mesurable dans : ... c'est une convention, ou bien elle se calcule !!
Et désolé pour ces betes questions ... ! :lol2:

[barbu23]

Ah, maintenant je comprends :
On a :
Donc :
Et donc :
.
Donc, le primitive de est une constante mais l'integrale par rapport à n'importe quel ensmelbe mesurable est égale à .
Ben oui, c'est vrai c'est une grossiereté ça !!

[legeniedesalpages]

Je dors pas bien ces derniers temps !! :lol2:
D'accord !! merci "legeniedesalpages" !!
Mais par rapport à quelle partie de .. C'est à dire : pour n'importe quel mesurable dans : ... c'est une convention, ou bien elle se calcule !!
Et désolé pour ces betes questions ... ! :lol2:

Par rapport à n'importe quelle partie mesurable de , ( peut-être une autre mesure que celle de Lebesgue).

Notons la fonction nulle.

tu as (par définition de la restriction sur de l'intégrale qu'on note ),

Et de plus il est immédiat que .

Donc

[barbu23]

Bonsoir :
Dans un livre :
L'application

n'est pas une norme !! mais il est facile de verifier que c'est une semi-norme !! donc, le problème est dans le axiome de la definition d'une norme !!
Alors pourquoi n'a-t-on pas : ?
... non ... ?
Merci d'avance de votre aide !!

[ThSQ]

Là c'est faux. Il suffit de prendre une fonction nulle partout sauf en un point (ou sur un ensemble dénombrable si on veut faire riche )

[legeniedesalpages]

Attention l'intégrale de lebesgue est plus générale:

.

On peut plus écrire cette notation avec les crochets, car justement, les boréliens ne sont plus forcément des intervalles. Par exemple si tu prends l'ensemble .
Si tu prends une "primitive" F d'une fonction f, (en supposant qu'elle existe) et que tu fais et que tu fais , on voit bien que tu vas compter un gros morceau d'aire en trop.

[barbu23]

Salut : "ThSQ" :
Pour les fonctions continues c'est toujours verifiée, mais pour la classe des fonctions mesurables il y'a certains fonctions qui ne verifient pas cette equivalences ... C'est ça ?!!
Et on a toujours :
.
Merci d'avance !!

[barbu23]

C'est vrai ça ?

[legeniedesalpages]

Salut : "ThSQ" :
Pour les fonctions continues c'est toujours verifiée, mais pour la classe des fonctions mesurables il y'a certains fonctions qui ne verifient pas cette equivalences ... C'est ça ?!!
Et on a toujours :
.
Merci d'avance !!

C'est vérifiée pour les fonctions qui ne sont pas nulles presques partout,

et par contre si tu prends par exemple et , et tu vois bien que cette fonction ne vérifie pas cette équivalence.

[barbu23]

Merci "legeniedeslpages" !