Maximum d'une fonction convexe sur un ensemble convexe

[sinusx]

Bonjour,

Savez-vous s'il est possible de montrer le résultat suivant

Le maximum d'une fonction convexe et continue sur un ensemble convexe et compact est atteint en un point extrémal

sans avoir recours au théorème de Krein-Milman ? ("tout point d'un convexe peut s'écrire comme la somme pondérée -- les coefficients étant compris entre 0 et 1 -- de ses points extrémaux")

J'essaie de trouver une preuve plus simple, mais tout ce que je trouve pour l'instant repose sur le résultat suivant

L'image d'un ensemble convexe et compact par une fonction continue convexe est convexe

que je ne parviens pas à démontrer.

Soit convexe et compact, soit continue convexe, montrons que est convexe.

Si est affine, le résultat est immédiat : l'inégalité précédente est une égalité, donc s'écrit avec , donc i.e est convexe.

Maintenant, si est "juste" convexe, je n'arrive pas à aller plus loin. Il faudrait exprimer comme pour un certain ... et c'est ici que je bloque.


Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Le fait que l'iage d'un compact par une application continue est très façile à démontrer (d'autant plus si on se place directement dans le cadre des espaces topologiques quelconques et pas uniquement des e.v.n.)
Par contre, par une fonction uniquement continue, l'image d'un convexe n'a aucune raison d'être convexe. Par exemple, de R² dans R², l'application clairement continue (x,y)->(x,x^2) envoie l'axe des x (convexe) sur la parabole y=x^2 (pas trop convexe...)
Vu que la convexité est une notion liée à la structure d'espace vectoriel, voir même à la structure affine de ton E.V. (et pas à la structure topologique), ce qui va envoyer les convexe sur des convexes, c'est les applications qui préservent la structure vectorielle, c'est à dire les applications linéaire (et plus généralement les applications affines)

[Ben314]

Salut,
Le fait que l'image d'un compact par une application continue est très façile à démontrer (d'autant plus si on se place directement dans le cadre des espaces topologiques quelconques et pas uniquement des e.v.n.)
Après, concernant la convexité, en général, on parle de "fonctions convexes" lorsque leur ensemble d'arrivé est R. Sauf que pour une partie de R, "être convexe", c'est la même chose que "être connexe" (en fait c'est les intervalles quelconques)
Comme tout convexe est connexe et que l'image d'un connexe est connexe, ça te donne le résultat.

Sinon, tu as le résultat en 2 lignes "à la main" en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires (et tu n'a pas besoin de la convexité de f, la continuité suffit) : ton il est compris entre et . Si tu prend la fonction de [0,1] dans R qui à x associe , elle est continue (car f l'est) et varie de à donc il existe un tel que

[sinusx]

Salut Ben314,

Merci de ta réponse ! Effectivement je m'intéressais aux fonction à valeurs réelles, donc le théorème des valeurs intermédiaires est assez efficace :lol3: honte à moi !

Ce qui est "amusant", c'est que le résultat dont je parlais n'est pas valable pour le minimum. Par exemple, définie sur le compact atteint son minimum en qui n'est pas un point extrémal de .

[mr_pyer]

Ce qui est "amusant", c'est que le résultat dont je parlais n'est pas valable pour le minimum. Par exemple, définie sur le compact atteint son minimum en qui n'est pas un point extrémal de .

Oui on aura la même propriété avec le minimum avec des fonctions concaves...

[Ben314]

Non, ça ne marche que pour le max avec les fonction convexes.
Par contre ça ne marche que pour le min avec les fonction concaves (même définition que convexe, mais avec l'inégalité dans l'autre sens : par exemple l'opposé d'une fonction convexe est concave)
Est-ce que c'est vraiment si étonnant que ça ?

[sinusx]

Est-ce que c'est vraiment si étonnant que ça ?

Pas vraiment, ça vient de l'inégalité de convexité qui est dans le sens "" pour les fonctions convexes. Du coup, on peut les majorer plus intuitivement. De la même manière, comme le dit mr_pyer, on peut montrer qu'une fonction concave atteint son minimum en un point extrémal d'un convexe.

Finalement, si l'optimisation linéaire marche bien, c'est parce que les fonctions considérées sont affines, donc convexes et concaves : on peut les minimiser ou les maximiser indifféremment sur l'ensemble "admissible" (convexe !).