Matrices symétriques,matrices hermitiennes,valeurs propres

[Diaz]

Bonjour à tous!

Merci à vous pour les réponses que vous avez données à mes précédents problèmes.Aujourd'hui,j'ai de nouvelles questions:

1)Toute matrice symétrique a-t-elle ses valeurs propres réelles?(Si oui,pourquoi?)
2)Soit f,une forme bilinéaire ou un endomorphisme de E.Si D est une matrice diagonale de f dans une base donnée,est-ce que l'ensemble des coefficients diagonaux de D constitue forcément l'ensemble des valeurs propres de f?Justifiez votre réponse,s'il vous plaît.
3)Voici quelque chose qui m'a posé un problème:
Dans un exercice que j'ai traité,on demande de montrer que l'ensemble S des matrices carrées d'ordre 2,hermitiennes,à coefficients dans C(C:corps des complexes), est un espace vectoriel réel(je dis bien espace vectoriel "réel").Dans la suite de cet exercice,on montre que dim S=4.Voici alors mes questions:
Dans une discussion précédente,vous m'avez bien affirmé que si E est un espace vectoriel sur un corps donné K,alors E est un espace vectoriel sur tout sous-corps T de K.En appliquant vos dires à mon problème,je trouve ceci:
a)L'ensemble(que nous noterons M) des matrices carrées d'ordre 2,à coefficients dans C est un espace vectoriel sur C;puisque R(l'ensemble des réels) est un sous-corps de C,alors M est un espace vectoriel sur R.Soient donc p la dimension de M en tant qu'espace vectoriel sur C et q celle de M en tant qu'espace vectoriel sur R;alors:
-Je sais que p=2x2=4;
-Puisque l'espace vectoriel S ci-dessus est un sous-espace vectoriel réel de M(M étant considéré ici comme espace vectoriel sur R)et que dim S=4,alors q est supérieur ou égal à 4;i.e q est supérieur ou égal à p:Est-ce exact?
b)Peut-on généraliser l'assertion précédente ainsi:
"Soit E un espace vectoriel sur un corps K;soit T un sous-corps de K;soit p la dimension de E en tant qu'espace vectoriel sur K,et q celle de E en tant qu'espace vectoriel sur T.Alors q est supérieur ou égal à p"?
MERCI!

[El_Gato]

1)Toute matrice symétrique a-t-elle ses valeurs propres réelles?(Si oui,pourquoi?)

Oui, parceque c'est un théorème du cours.

2)Soit f,une forme bilinéaire ou un endomorphisme de E.Si D est une matrice diagonale de f dans une base donnée,est-ce que l'ensemble des coefficients diagonaux de D constitue forcément l'ensemble des valeurs propres de f?Justifiez votre réponse,s'il vous plaît.

Tout d'abord pour les endomorphismes. Oui. L'ensemble des valeurs propres est, en dimension finie l'ensemble des racines du polynôme caractéristique. Celui-ci est par définition det(M -XId) où M est la matrice de f dans toute base (c'est indépendant de la base choisie: pourquoi ?). Si tu prends D, qu'obtiens-tu ?
La notion de valeur propre d'une forme bilinéaire n'est pas clairement définie, à ma connaissance du moins. Si tu prends la matrice d'une telle forme et que tu en calcules les vp, c'est que tu considère ladite matrice comme celle d'un endomorphisme.

3)Voici quelque chose qui m'a posé un problème:
Dans un exercice que j'ai traité,on demande de montrer que l'ensemble S des matrices carrées d'ordre 2,hermitiennes,à coefficients dans C(C:corps des complexes), est un espace vectoriel réel(je dis bien espace vectoriel "réel").Dans la suite de cet exercice,on montre que dim S=4.Voici alors mes questions:
Dans une discussion précédente,vous m'avez bien affirmé que si E est un espace vectoriel sur un corps donné K,alors E est un espace vectoriel sur tout sous-corps T de K.En appliquant vos dires à mon problème,je trouve ceci:
a)L'ensemble(que nous noterons M) des matrices carrées d'ordre 2,à coefficients dans C est un espace vectoriel sur C;puisque R(l'ensemble des réels) est un sous-corps de C,alors M est un espace vectoriel sur R.Soient donc p la dimension de M en tant qu'espace vectoriel sur C et q celle de M en tant qu'espace vectoriel sur R;alors:
-Je sais que p=2x2=4;
-Puisque l'espace vectoriel S ci-dessus est un sous-espace vectoriel réel de M(M étant considéré ici comme espace vectoriel sur R)et que dim S=4,alors q est supérieur ou égal à 4;i.e q est supérieur ou égal à p:Est-ce exact?
b)Peut-on généraliser l'assertion précédente ainsi:
"Soit E un espace vectoriel sur un corps K;soit T un sous-corps de K;soit p la dimension de E en tant qu'espace vectoriel sur K,et q celle de E en tant qu'espace vectoriel sur T.Alors q est supérieur ou égal à p"?
MERCI!

M est le complexifié de S. Ecrit de façon intuitive, cela signifie M = S + iS.
La dimension du complexifié sur R est toujours le double de celle de l'espace réel sous-jacent. Sur C, les deux ont la même dimension.
Pour les corps quelconques, je ne sais pas trop ce qui se passe.

[yos]

Bonsoir
Le théorème est plutôt " une matrice symétrique réelle est diagonalisable (avec valeurs propres réelles).

[Diaz]

Merci à vous!Mais finalement,vos réponses m'embrouillent:Quelles réponses dois-je garder?Merci

[yos]

Je n'ai fait qu'apporter une précision. Une matrice symétrique complexe n'a pas forcément ses valeurs propres réelles.
Et si la matrice est symétrique réelle, les valeurs propres sont réelles mais surtout la matrice est diagonalisable.

Désolé de t'embrouiller. Je te conseille un bon bouquin c'est pas ce qui manque.