Bonjour,
soit A dans Mn(K).
comment montrer que la famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) est liée ?
J'avais pensé chercher une matrice ne pouvant s'exprimer comme
combinaison linéaire de ces matrices mais je ne vois pas trop.
merci
--
albert
Matrices (mpsi)
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Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Le Wed, 20 Apr 2005 18:13:06 +0200, albert junior a écrit :
> Bonjour,
>
> soit A dans Mn(K).
> comment montrer que la famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) est liée ?
>
> J'avais pensé chercher une matrice ne pouvant s'exprimer comme
> combinaison linéaire de ces matrices mais je ne vois pas trop.
>
>
> merci
famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) ?
cette famille est a priori quelconque
si par contre tu avait la famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2) ) alors la oui
elle est liée pour une histoire de dimension (une famille de n^2+1
éléments dans un espace de dim n^2)
tu es sur de l'énoncé ?
> Bonjour,
>
> soit A dans Mn(K).
> comment montrer que la famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) est liée ?
>
> J'avais pensé chercher une matrice ne pouvant s'exprimer comme
> combinaison linéaire de ces matrices mais je ne vois pas trop.
>
>
> merci
famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) ?
cette famille est a priori quelconque
si par contre tu avait la famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2) ) alors la oui
elle est liée pour une histoire de dimension (une famille de n^2+1
éléments dans un espace de dim n^2)
tu es sur de l'énoncé ?
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Fouesneau Morgan wrote:
[color=green]
>>soit A dans Mn(K).
>>comment montrer que la famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) est liée ?[/color]
> famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) ?
> cette famille est a priori quelconque
tu es sûr ? je sais que je serais lourd de demander un contre exemple,
mais bon, j'ai quand même un doute
Sinon si on va jusqu'à n^2 c'est évident
--
albert
[color=green]
>>soit A dans Mn(K).
>>comment montrer que la famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) est liée ?[/color]
> famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) ?
> cette famille est a priori quelconque
tu es sûr ? je sais que je serais lourd de demander un contre exemple,
mais bon, j'ai quand même un doute
Sinon si on va jusqu'à n^2 c'est évident
--
albert
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Le Wed, 20 Apr 2005 19:18:17 +0200, albert junior a écrit :
> Fouesneau Morgan wrote:
>[color=green][color=darkred]
>>>soit A dans Mn(K).
>>>comment montrer que la famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) est liée ?[/color]
>
>> famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) ?
>> cette famille est a priori quelconque
>
> tu es sûr ? je sais que je serais lourd de demander un contre exemple,
> mais bon, j'ai quand même un doute
>
>
> Sinon si on va jusqu'à n^2 c'est évident[/color]
Non autant pour moi je suis allé trop vite c'est effectivement une
famille liée puisque on peut même montrer que la famille
(I,A,A^2,...,A^n) est liée.
Tu en es où dans les matrices ? vous savez ce qu'est un polynome
annulateur ?
> Fouesneau Morgan wrote:
>[color=green][color=darkred]
>>>soit A dans Mn(K).
>>>comment montrer que la famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) est liée ?[/color]
>
>> famille (Id, A, A^2, ..., A^(n^2-1) ) ?
>> cette famille est a priori quelconque
>
> tu es sûr ? je sais que je serais lourd de demander un contre exemple,
> mais bon, j'ai quand même un doute
>
>
> Sinon si on va jusqu'à n^2 c'est évident[/color]
Non autant pour moi je suis allé trop vite c'est effectivement une
famille liée puisque on peut même montrer que la famille
(I,A,A^2,...,A^n) est liée.
Tu en es où dans les matrices ? vous savez ce qu'est un polynome
annulateur ?
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Le Wed, 20 Apr 2005 20:16:01 +0200, Fouesneau Morgan a écrit :
> Le Wed, 20 Apr 2005 19:18:17 +0200, albert junior a écrit :
>[color=green]
>> Fouesneau Morgan wrote:
> Tu en es où dans les matrices ? vous savez ce qu'est un polynome
> annulateur ?[/color]
une méthode simple serait de prendre l'endomorphisme f associé et voir
que la famille des puissances de f est liée.
> Le Wed, 20 Apr 2005 19:18:17 +0200, albert junior a écrit :
>[color=green]
>> Fouesneau Morgan wrote:
> Tu en es où dans les matrices ? vous savez ce qu'est un polynome
> annulateur ?[/color]
une méthode simple serait de prendre l'endomorphisme f associé et voir
que la famille des puissances de f est liée.
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Fouesneau Morgan wrote:
> Non autant pour moi je suis allé trop vite c'est effectivement une
> famille liée puisque on peut même montrer que la famille
> (I,A,A^2,...,A^n) est liée.
>
> Tu en es où dans les matrices ? vous savez ce qu'est un polynome
> annulateur ?
>
Non, je connais le cours de sup de base sur les matrices. Et surtout
c'est un exo que j'ai trouvé dans une série d'exos n'utilisant que des
des propriétés élémentaires sur les matrices. Cela dit, si tu peux
m'expliquer rapidement avec le polynôme annulateur, je n'ai rien contre.
merci à toi
--
albert
> Non autant pour moi je suis allé trop vite c'est effectivement une
> famille liée puisque on peut même montrer que la famille
> (I,A,A^2,...,A^n) est liée.
>
> Tu en es où dans les matrices ? vous savez ce qu'est un polynome
> annulateur ?
>
Non, je connais le cours de sup de base sur les matrices. Et surtout
c'est un exo que j'ai trouvé dans une série d'exos n'utilisant que des
des propriétés élémentaires sur les matrices. Cela dit, si tu peux
m'expliquer rapidement avec le polynôme annulateur, je n'ai rien contre.
merci à toi
--
albert
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Fouesneau Morgan wrote:
> une méthode simple serait de prendre l'endomorphisme f associé et voir
> que la famille des puissances de f est liée.
Mmh oui, mais je ne trouve pas cela plus simple. Un peu d'aide ?
merci
--
albert
> une méthode simple serait de prendre l'endomorphisme f associé et voir
> que la famille des puissances de f est liée.
Mmh oui, mais je ne trouve pas cela plus simple. Un peu d'aide ?
merci
--
albert
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
"albert junior" a écrit dans le message
de news: 4266a2fe$0$31035$626a14ce@news.free.fr...
> Fouesneau Morgan wrote:
>[color=green]
> > une méthode simple serait de prendre l'endomorphisme f associé et voir
> > que la famille des puissances de f est liée.
>
> Mmh oui, mais je ne trouve pas cela plus simple. Un peu d'aide ?[/color]
On supposons bien entendu A non nul (sinon, c'est trivial)
Tu auras du mal à trouver des contre-exemples puisque si A est dans Mn(K)
alors Vect(A^k, k dans N) est de dimension au plus n (autrement dit
(I,A,...,A^n) est liée).
Par l'absurde, si la famille (I,..,A^(n^2-1)) est libre alors c'est une base
de Mn(K).
Tu introduis l'ensemble S des polynômes P de K[X] tel que P(A) = 0
Tu fixes un élément Q de S non nul et de degré minimal. Alors si P(A) alors
Q divise P (faire la division de P par Q et le reste R vérifie R(A)=0 donc
R=0 puisque Q est de degré minimal)
Tu considères alors deux projecteurs u et v tels que (1) u+v=I et (2)
uov=vou=0 (prendre u projection sur F // à G et v projection sur G // F)
il existe P1 et P2 poly tels que u=P1(A) et v=P2(A) et je te laisse la suite
du raisonnement en utilisant (1) et (2) via le polynôme minimal Q
********************
http://www.mathematiques.fr.st
100 exos de Taupe en +
150 exos de PHEC en +
******************
de news: 4266a2fe$0$31035$626a14ce@news.free.fr...
> Fouesneau Morgan wrote:
>[color=green]
> > une méthode simple serait de prendre l'endomorphisme f associé et voir
> > que la famille des puissances de f est liée.
>
> Mmh oui, mais je ne trouve pas cela plus simple. Un peu d'aide ?[/color]
On supposons bien entendu A non nul (sinon, c'est trivial)
Tu auras du mal à trouver des contre-exemples puisque si A est dans Mn(K)
alors Vect(A^k, k dans N) est de dimension au plus n (autrement dit
(I,A,...,A^n) est liée).
Par l'absurde, si la famille (I,..,A^(n^2-1)) est libre alors c'est une base
de Mn(K).
Tu introduis l'ensemble S des polynômes P de K[X] tel que P(A) = 0
Tu fixes un élément Q de S non nul et de degré minimal. Alors si P(A) alors
Q divise P (faire la division de P par Q et le reste R vérifie R(A)=0 donc
R=0 puisque Q est de degré minimal)
Tu considères alors deux projecteurs u et v tels que (1) u+v=I et (2)
uov=vou=0 (prendre u projection sur F // à G et v projection sur G // F)
il existe P1 et P2 poly tels que u=P1(A) et v=P2(A) et je te laisse la suite
du raisonnement en utilisant (1) et (2) via le polynôme minimal Q
********************
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Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Le Wed, 20 Apr 2005 20:28:21 +0200, albert junior a écrit :
> Fouesneau Morgan wrote:
>[color=green]
>> Non autant pour moi je suis allé trop vite c'est effectivement une
>> famille liée puisque on peut même montrer que la famille
>> (I,A,A^2,...,A^n) est liée.
>>
>> Tu en es où dans les matrices ? vous savez ce qu'est un polynome
>> annulateur ?
>>
>
> Non, je connais le cours de sup de base sur les matrices. Et surtout
> c'est un exo que j'ai trouvé dans une série d'exos n'utilisant que des
> des propriétés élémentaires sur les matrices. Cela dit, si tu peux
> m'expliquer rapidement avec le polynôme annulateur, je n'ai rien contre.
>
> merci à toi[/color]
Un polynome annulateur de A est un pol P tel que P(A)=[0]
Or on montre que det(A-xI) est un polynome de degré n unitaire (si A de
Mn(K)) qui est annulateur de A donc :
P(A)=0=a_0+a_1*A+...+a_n-1*A^n-1+A^n
donc A^n peut s'écrire à partir des puissances inf.
> Fouesneau Morgan wrote:
>[color=green]
>> Non autant pour moi je suis allé trop vite c'est effectivement une
>> famille liée puisque on peut même montrer que la famille
>> (I,A,A^2,...,A^n) est liée.
>>
>> Tu en es où dans les matrices ? vous savez ce qu'est un polynome
>> annulateur ?
>>
>
> Non, je connais le cours de sup de base sur les matrices. Et surtout
> c'est un exo que j'ai trouvé dans une série d'exos n'utilisant que des
> des propriétés élémentaires sur les matrices. Cela dit, si tu peux
> m'expliquer rapidement avec le polynôme annulateur, je n'ai rien contre.
>
> merci à toi[/color]
Un polynome annulateur de A est un pol P tel que P(A)=[0]
Or on montre que det(A-xI) est un polynome de degré n unitaire (si A de
Mn(K)) qui est annulateur de A donc :
P(A)=0=a_0+a_1*A+...+a_n-1*A^n-1+A^n
donc A^n peut s'écrire à partir des puissances inf.
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
>
>Par l'absurde, si la famille (I,..,A^(n^2-1)) est libre alors c'est une base
>de Mn(K).
>Tu introduis l'ensemble S des polynômes P de K[X] tel que P(A) = 0
je pense , du moins , pour quelqu'un qui n'a pas vu en cours ces
histoires de poly annulateur, qu'il faut justifier qu'il existe de
tels poly P non nuls tels que P(A)=0 : ce qui se fait en remarquant
que
I,A,......,A^(n^2) est (évidemment, cf dim de Mn(K)) liée
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Masterbech wrote:
> Par l'absurde, si la famille (I,..,A^(n^2-1)) est libre alors c'est une base
> de Mn(K).
> Tu introduis l'ensemble S des polynômes P de K[X] tel que P(A) = 0
> Tu fixes un élément Q de S non nul et de degré minimal. Alors si P(A) alors
> Q divise P (faire la division de P par Q et le reste R vérifie R(A)=0 donc
> R=0 puisque Q est de degré minimal)
> Tu considères alors deux projecteurs u et v tels que (1) u+v=I et (2)
> uov=vou=0 (prendre u projection sur F // à G et v projection sur G // F)
> il existe P1 et P2 poly tels que u=P1(A) et v=P2(A) et je te laisse la suite
> du raisonnement en utilisant (1) et (2) via le polynôme minimal Q
je me lance...
on peut choisir u et v non nuls (car dim E > 1)
u+v = Id donc P1(A) + P2(A) = In
soit (P1+P2-In)(A) = 0 donc Q divise P1+P2-In
Par ailleurs en appliquant u à (1), u^2 = u, donc (P1^2-P1)(A)=0
donc Q divise P1^2-P1=P1*(P1-In)
Dès lors puisque P1 et P1-In sont premiers entre eux, soit Q divise P1,
soi Q divise P1-In et donc P2. Mais si Q divise par exemple P1, u est
nul... contradiction.
j'espère ne pas avoir écrit d'énormité
--
albert
> Par l'absurde, si la famille (I,..,A^(n^2-1)) est libre alors c'est une base
> de Mn(K).
> Tu introduis l'ensemble S des polynômes P de K[X] tel que P(A) = 0
> Tu fixes un élément Q de S non nul et de degré minimal. Alors si P(A) alors
> Q divise P (faire la division de P par Q et le reste R vérifie R(A)=0 donc
> R=0 puisque Q est de degré minimal)
> Tu considères alors deux projecteurs u et v tels que (1) u+v=I et (2)
> uov=vou=0 (prendre u projection sur F // à G et v projection sur G // F)
> il existe P1 et P2 poly tels que u=P1(A) et v=P2(A) et je te laisse la suite
> du raisonnement en utilisant (1) et (2) via le polynôme minimal Q
je me lance...
on peut choisir u et v non nuls (car dim E > 1)
u+v = Id donc P1(A) + P2(A) = In
soit (P1+P2-In)(A) = 0 donc Q divise P1+P2-In
Par ailleurs en appliquant u à (1), u^2 = u, donc (P1^2-P1)(A)=0
donc Q divise P1^2-P1=P1*(P1-In)
Dès lors puisque P1 et P1-In sont premiers entre eux, soit Q divise P1,
soi Q divise P1-In et donc P2. Mais si Q divise par exemple P1, u est
nul... contradiction.
j'espère ne pas avoir écrit d'énormité
--
albert
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
"albert junior" a écrit dans le message
de news: 4266c6e8$0$31037$626a14ce@news.free.fr...
> Masterbech wrote:
>[color=green]
> > Par l'absurde, si la famille (I,..,A^(n^2-1)) est libre alors c'est une[/color]
base[color=green]
> > de Mn(K).
> > Tu introduis l'ensemble S des polynômes P de K[X] tel que P(A) = 0
> > Tu fixes un élément Q de S non nul et de degré minimal. Alors si P(A)[/color]
alors[color=green]
> > Q divise P (faire la division de P par Q et le reste R vérifie R(A)=0[/color]
donc[color=green]
> > R=0 puisque Q est de degré minimal)
> > Tu considères alors deux projecteurs u et v tels que (1) u+v=I et (2)
> > uov=vou=0 (prendre u projection sur F // à G et v projection sur G // F)
> > il existe P1 et P2 poly tels que u=P1(A) et v=P2(A) et je te laisse la[/color]
suite[color=green]
> > du raisonnement en utilisant (1) et (2) via le polynôme minimal Q
>
> je me lance...
>
> on peut choisir u et v non nuls (car dim E > 1)
> u+v = Id donc P1(A) + P2(A) = In
> soit (P1+P2-In)(A) = 0 donc Q divise P1+P2-In[/color]
trop tard, l'horreur est écrite :=)
Il s'agit de P1 + P2 -1 (x^k devient A^k donc 1=x^0 devient A^0=In
> j'espère ne pas avoir écrit d'énormité
>
> --
> albert
de news: 4266c6e8$0$31037$626a14ce@news.free.fr...
> Masterbech wrote:
>[color=green]
> > Par l'absurde, si la famille (I,..,A^(n^2-1)) est libre alors c'est une[/color]
base[color=green]
> > de Mn(K).
> > Tu introduis l'ensemble S des polynômes P de K[X] tel que P(A) = 0
> > Tu fixes un élément Q de S non nul et de degré minimal. Alors si P(A)[/color]
alors[color=green]
> > Q divise P (faire la division de P par Q et le reste R vérifie R(A)=0[/color]
donc[color=green]
> > R=0 puisque Q est de degré minimal)
> > Tu considères alors deux projecteurs u et v tels que (1) u+v=I et (2)
> > uov=vou=0 (prendre u projection sur F // à G et v projection sur G // F)
> > il existe P1 et P2 poly tels que u=P1(A) et v=P2(A) et je te laisse la[/color]
suite[color=green]
> > du raisonnement en utilisant (1) et (2) via le polynôme minimal Q
>
> je me lance...
>
> on peut choisir u et v non nuls (car dim E > 1)
> u+v = Id donc P1(A) + P2(A) = In
> soit (P1+P2-In)(A) = 0 donc Q divise P1+P2-In[/color]
trop tard, l'horreur est écrite :=)
Il s'agit de P1 + P2 -1 (x^k devient A^k donc 1=x^0 devient A^0=In
> j'espère ne pas avoir écrit d'énormité
>
> --
> albert
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Une manière peut être plus accesible en sup et n'utilisant pas les polynômes
annulateur : si (Id, A , ....,A^(n²-1)) est libre c'est une base de Mn(K)
donc toute matrice de Mn(K) est combinaison linéaire des A^k, ceci implique
que A commute avec toutes les matrices de Mn(K) donc A est la matrice d'une
homothétie A=a*In d'où une contradction ...
annulateur : si (Id, A , ....,A^(n²-1)) est libre c'est une base de Mn(K)
donc toute matrice de Mn(K) est combinaison linéaire des A^k, ceci implique
que A commute avec toutes les matrices de Mn(K) donc A est la matrice d'une
homothétie A=a*In d'où une contradction ...
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
"garfield" a écrit dans le message de news:
4266e0b3$0$21140$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> Une manière peut être plus accesible en sup et n'utilisant pas les
polynômes
> annulateur : si (Id, A , ....,A^(n²-1)) est libre c'est une base de Mn(K)
> donc toute matrice de Mn(K) est combinaison linéaire des A^k, ceci
implique
> que A commute avec toutes les matrices de Mn(K) donc A est la matrice
d'une
> homothétie A=a*In d'où une contradction ...
effectivement, j'avais oublié la commutation.
chat m'apprendra à oublié le fondamentale : = )
******************************
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150 exos de PHEC en +
*****************************
4266e0b3$0$21140$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> Une manière peut être plus accesible en sup et n'utilisant pas les
polynômes
> annulateur : si (Id, A , ....,A^(n²-1)) est libre c'est une base de Mn(K)
> donc toute matrice de Mn(K) est combinaison linéaire des A^k, ceci
implique
> que A commute avec toutes les matrices de Mn(K) donc A est la matrice
d'une
> homothétie A=a*In d'où une contradction ...
effectivement, j'avais oublié la commutation.
chat m'apprendra à oublié le fondamentale : = )
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Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
Masterbech wrote:
> trop tard, l'horreur est écrite :=)
> Il s'agit de P1 + P2 -1 (x^k devient A^k donc 1=x^0 devient A^0=In
Mmh... d'accord. J'y avais pourtant pas mal réflechi, mais je n'avais
pas pensé que le terme constant était à voir comme un X^0 (c'est la
première fois que je vois les polynomes sortir du cadre ou X est aussi
dans K). Et du coup ce que j'ai écrit est totalement incohérant.
Si je reprends la suite de ce que je disais :
on peut choisir u et v non nuls (car dim E > 1)
u+v = Id donc P1(A) + P2(A) = In
soit (P1+P2-1)(A) = 0 donc Q divise P1+P2-1
Par ailleurs en appliquant u à (1), u2 = u, donc (P12-P1)(A)=0
donc Q divise P12-P1=P1*(P1-1)
Dès lors par intégrité de K[X] et minimalité de Q, soit Q divise P1, soi
Q divise P1-1 et donc P2. Mais si Q divise par exemple P1, u est nul...
contradiction.
c'est mieux ?
merci de ton aide
--
albert
> trop tard, l'horreur est écrite :=)
> Il s'agit de P1 + P2 -1 (x^k devient A^k donc 1=x^0 devient A^0=In
Mmh... d'accord. J'y avais pourtant pas mal réflechi, mais je n'avais
pas pensé que le terme constant était à voir comme un X^0 (c'est la
première fois que je vois les polynomes sortir du cadre ou X est aussi
dans K). Et du coup ce que j'ai écrit est totalement incohérant.
Si je reprends la suite de ce que je disais :
on peut choisir u et v non nuls (car dim E > 1)
u+v = Id donc P1(A) + P2(A) = In
soit (P1+P2-1)(A) = 0 donc Q divise P1+P2-1
Par ailleurs en appliquant u à (1), u2 = u, donc (P12-P1)(A)=0
donc Q divise P12-P1=P1*(P1-1)
Dès lors par intégrité de K[X] et minimalité de Q, soit Q divise P1, soi
Q divise P1-1 et donc P2. Mais si Q divise par exemple P1, u est nul...
contradiction.
c'est mieux ?
merci de ton aide
--
albert
Re: Matrices (mpsi)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:28
garfield wrote:
> Une manière peut être plus accesible en sup et n'utilisant pas les polynômes
> annulateur : si (Id, A , ....,A^(n²-1)) est libre c'est une base de Mn(K)
> donc toute matrice de Mn(K) est combinaison linéaire des A^k, ceci implique
> que A commute avec toutes les matrices de Mn(K) donc A est la matrice d'une
> homothétie A=a*In d'où une contradction ...
merci !
c'est sans doute plus cela qu'attendait l'exercice. Merci beaucoup, je
retiens le raisonnement.
--
albert
> Une manière peut être plus accesible en sup et n'utilisant pas les polynômes
> annulateur : si (Id, A , ....,A^(n²-1)) est libre c'est une base de Mn(K)
> donc toute matrice de Mn(K) est combinaison linéaire des A^k, ceci implique
> que A commute avec toutes les matrices de Mn(K) donc A est la matrice d'une
> homothétie A=a*In d'où une contradction ...
merci !
c'est sans doute plus cela qu'attendait l'exercice. Merci beaucoup, je
retiens le raisonnement.
--
albert
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