Matrice qui commutent

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit S une matrice de Sn ++ (R) et A aussi telle que :
Soit B matrice de Sn++(R) une autre racine carrée de S.
Il existe un polynôme Q tel que :

Montrer que A et B commutent.

Je commence : et là je sais plus quoi faire...

[MJoe]

Bonjour à tous,

Il s'agit de prouver que A*B = B*A
Si A = Q(B) cela veut dire que A peut s'écrire :

Ecrivons alors le produit A*B :


Ecrivons ensuite le produit B*A :


On voit que A*B = B*A donc les matrices A et B commutent.

Voilà, si cela peut aider.
Par contre, ce que je trouve bizarre c'est que je n'ai pas eu besoin du fait que et que .
Est-ce que ces propriétés sont utilisées plus loin dans l'exercice ?

MJoe.

[mehdi-128]

Bien vu

[mehdi-128]

Par contre j'ai vu un cours qui explique d'où vient les polynômes de matrice c'est très compliqué.

[MJoe]

Par contre j'ai vu un cours qui explique d'où vient les polynômes de matrice c'est très compliqué.

Bonjour,

Aurais-tu un lien vers ce cours ?

MJoe.

[mehdi-128]

Par contre j'ai vu un cours qui explique d'où vient les polynômes de matrice c'est très compliqué.

Bonjour,

Aurais-tu un lien vers ce cours ?

MJoe.

Morphisme d'évaluation page 2 j'ai rien compris

http://capes-math.univ-rennes1.fr/cours ... phisme.pdf

[MJoe]

Bonjour,

Merci pour ce lien.

MJoe.

[Lostounet]

J'ai pas trop compris le lien...

Mais si A = Q(B) avec Q un polynôme, c'est que

AB = Q(B)B
Or une matrice commute avec toutes ses puissances ce qui dit Q(B)B=BQ(B)=BA...

Mais n'a-t-on par ailleurs pas unicité de la racine d'une matrice SDP.

[aviateur]

Bonjour

C'est quoi (jamais vu pour moi)?
Si cela veut dire ensemble des matrices symétriques déf. pos. à coef. réels
alors comme le dit @lostounet, une matrice S dans cette ensemble n'admet qu'une racine carrée dans cet ensemble.
C'est pourquoi la question n'est pas claire ou bien pas assez précise.
La racine A on la prend aussi . ?

Et puis je me demande qui est l'auteur de la question ou alors si elle n'a pas été déformée.
En effet si A est de la forme Q(B) alors A et B commutent (en dehors de tout autre considération).
D'où l'étrangeté de la question et l'étonnement de @M-Joe.

Par contre si A n'est pas dans A et B ne sont pas égaux et alors il se pose la question de
l'existence de Q (pol.) tel que A=Q(B). A partir de là, l'exercice commence à avoir plus de sens.

Mais @Mehdi-128, tu devrais nous dire où tu as pris l'énoncé ou bien si toi même tu as mal recopié.

[aviateur]

Rebonjour C'est bien ce que je pense: si A n'est pas définie positive alors on peut trouver un polynôme
Q tel que B=Q(A).

D'où l'intérêt de l'exercice s'il est bien posé.
Voici un exemple



On peut vérifier que S est s.d.p et B est s.d.p , mais A n'est pas s.d.p.
A et B commutent si on a démontré qu' il existe Q tel que B=Q(B), ce n'est pas difficile.

On peut vérifier sur l'exemple qu'ici

On peut même généraliser la question: deux racines carrées qcq d'une matrice s.d.p commutent-elles?

[MJoe]

A et B commutent si on a démontré qu' il existe Q tel que B=Q(B), ce n'est pas difficile.

On peut vérifier sur l'exemple qu'ici

On peut même généraliser la question: deux racines carrées qcq d'une matrice s.d.p commutent-elles?

Bonjour @aviateur et bonjour à tous,

Merci pour ton exemple chiffré. Juste une petite erreur de frappe : c'est B = Q(A) et non B = Q(B).

MJoe.

[mehdi-128]

Bonjour

C'est quoi (jamais vu pour moi)?
Si cela veut dire ensemble des matrices symétriques déf. pos. à coef. réels
alors comme le dit @lostounet, une matrice S dans cette ensemble n'admet qu'une racine carrée dans cet ensemble.
C'est pourquoi la question n'est pas claire ou bien pas assez précise.
La racine A on la prend aussi . ?

Et puis je me demande qui est l'auteur de la question ou alors si elle n'a pas été déformée.
En effet si A est de la forme Q(B) alors A et B commutent (en dehors de tout autre considération).
D'où l'étrangeté de la question et l'étonnement de @M-Joe.

Par contre si A n'est pas dans A et B ne sont pas égaux et alors il se pose la question de
l'existence de Q (pol.) tel que A=Q(B). A partir de là, l'exercice commence à avoir plus de sens.

Mais @Mehdi-128, tu devrais nous dire où tu as pris l'énoncé ou bien si toi même tu as mal recopié.

http://maths-france.fr/MathSpe/Probleme ... Enonce.pdf

[aviateur]

Bonjour
C'est bien ce que je pensais. L'auteur a bien posé ses questions (c'est un sujet de concours)
mais la question ici qui nous a été transmise @Mehdi-128 est déformée et manque de précision.
C'est à dire qu'il aurait fallu préciser la notation est une notation ponctuelle qui n'est pas standard. Et d'autre part (et surtout) B=Q(A) n'est pas une hypothèse mais c'est à démontrer. Et c'est le plus important. La commutation n'en serait que la conséquence.