Endomorphismes qui commutent, sous-espaces propres

[chelsea-asm]

Bonjour,

J'ai une définition dans un livre de mathématiques, ou plutôt un théorème qui dit
"Si les endomorphismes f et g commutent, alors les sous-espaces propres de f sont stables par g."

Est-ce que l'inverse marche aussi ??

Par exemple, j'ai deux endomorphismes dans f et g dont les matrices dans la base canonique sont respectivement :

1 0 0
0 0 1
0 1 2

et

0 1 1
1 1 1
1 1 3 (je l'écris sans les balises TEX sinon il me sort n'importe quoi avec des p ou des alpha au milieu..)

Montrer que f et g commutent.

Au début j'ai donc fait le "test" en multipliant la première par la deuxième puis la deuxième par la première, et j'obtient deux matrices. La deuxième étant la transposée de la première.
Est-ce une bonne démarche et y a-t-il une propriété pour conclure en sachant que les deux matrices produits sont la transposée l'une de l'autre ?

Ou le théorème énoncé au début est-il réciproque, et je dois donc calculer le polynôme puis calculer ses sous-espaces propres puis montrer qu'ils sont stables par g (j'ai aucune idée de comment montrer ça avec la simple propriété "si alors " ...

Merci pour vos commentaires.

Cordialement,

Alex

[chelsea-asm]

Problème résolu, le souci venait de l'énoncé dans les matrices.

Merci quand même