Matrice nilpotente et trace

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nemesis
Membre Relatif
Messages: 343
Enregistré le: 23 Sep 2006, 17:28

matrice nilpotente et trace

par nemesis » 08 Avr 2007, 22:31

bonsoir
j'ai un petit probleme avec ce qui suit
soit A une matrice carrée d'ordre n a coefficients dans un corps commutatif K

je dois montrer l'equivalence entre :
-A est nilpotente
-tr(A^k)=0

pour A nilpotente implique tr(A^k)= 0

j'ai trouvai deux solutions ;quelle est la meilleur ??:

- A est nilpotente implique que A^k est nilpotente donc les seules valeurs propres sont nulles donc tr(A^k)=0

_ A=P T P^-1 (T triangulaire) ayant des zero sur la diagonale donc trA = 0

et A^k =P T^k P^-1 implique tr(A^k)=0


mais pour l'autre sens je sais pas trop par ou commencer

merci pour votre aide



nemesis
Membre Relatif
Messages: 343
Enregistré le: 23 Sep 2006, 17:28

par nemesis » 08 Avr 2007, 23:03

ok je vois
merci encore

fahr451
Membre Transcendant
Messages: 5144
Enregistré le: 06 Déc 2006, 01:50

par fahr451 » 08 Avr 2007, 23:41

bonsoir

oui c'est ce que dit rain

modulo le fait qu 'il faille sans doute raisonner par l'absurde en supposant que A a des valeurs propres non nulles distinctes de multiplicité n1,...,nr >0 le système est alors un van der monde d'inconnues n1,...,nr de cramer d'unique solution 0,...,0
c'est absurde

 

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