Bonjour,
je suis face à un exercice, je crois que j'ai trouvé la réponse mais je ne suis pas convaincu par mon raisonnement :
Soit . Montrer que A est nilpotente. Existe-t-il telle que ?
Voici ma réponse : par le calcul direct, donc A est nilpotente d'ordre 2. Donc son unique valeur propre est 0. De plus A est de rang 1.
Pour la deuxieme question, j'imagine qu'il faut une réponse un peu "élégante" donc il ne faut pas chercher par des calculs lourds une matrice qui pourrait correspondre (en plus, ce n'est pas sur qu'elle existe).
Supposons qu'une telle matrice existe. Alors et donc est nilpotente d'ordre 4. Or l'ordre de nilpotence de B ne peut excéder 3 donc il n'existe pas une telle matrice.
Voila mon raisonnement, j'ai l'impression qu'il y a quelque chose qui cloche! Pourriez-vous me donner votre avis ?
Merci et bon week-end,
alb1du29