Matrice nilpotente

par **bidoudubuis** » 11 Avr 2009, 12:25

bonjour,

j'ai un petit problème dont voici l'ennoncé :
Soient A, B deux matrices carrées de taille n, nilpotentes A+B est aussi nilpotente, il faut montrer que tr(A*B)=0

si on arrive à montrer que A+B nilpotente implique que A et B commutent alors c'est fini mais peut-on affirmer cette phrase
"A+B nilpotente implique que A et B commutent "?

merci

par **Joker62** » 11 Avr 2009, 12:37

Au sujet de l'agreg cette année y'avait A et B commutent si et seulement A + kB inversible pour tout k dans K
Bon A+B nilpotent, ça voudrait dire, que la seule valeur propre est 0, c'est à dire A+B non injectif, donc non inversible
Donc A et B ne commutent pas forcément

Reste plus qu'à trouver un contre exemple maintenant qu'on sait que ça existe :o

par **Joker62** » 11 Avr 2009, 13:17

E_(1,2) et E_(2,3) sont nilpotentes
Leur somme est :
(0,1,0)
(0,0,1)
(0,0,0) qui est nilpotente
et les deux ne commutent pas.

Sinon tu peux toujours regarder du côté (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
Et te rappeler que si M est une matrice nilpotente, alors M^2 aussi :o

par **yos** » 12 Avr 2009, 23:33

Joker62 a écrit:Au sujet de l'agreg cette année y'avait A et B commutent si et seulement A + kB inversible pour tout k dans K

Hum... ??? Il manque plein d'hypothèses sur A et B ou quoi? Je vois aucun rapport entre les deux propositions.

Joker62 a écrit:Bon A+B nilpotent, ça voudrait dire, que la seule valeur propre est 0, c'est à dire A+B non injectif, donc non inversible

Attention c'est pas équivalent.

Joker62 a écrit:Sinon tu peux toujours regarder du côté (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
Et te rappeler que si M est une matrice nilpotente, alors M^2 aussi.

Bonne idée : ça sautait pas aux yeux.

par **Alpha** » 12 Avr 2009, 23:45

Joker62 a écrit:Au sujet de l'agreg cette année y'avait A et B commutent si et seulement A + kB inversible pour tout k dans K

Si tu prends k=-1 et A=B, y'a pas un problème?

par **Joker62** » 12 Avr 2009, 23:51

J'suis vachement bête, c'était pas inversible, c'était diagonale dans le sujet d'agreg mdr :D

A trop vouloir jouer au malin, on fini par se perdre !

par **Joker62** » 12 Avr 2009, 23:55

Yos, quand tu surligne mon mot "c'est à dire", je comprend pas trop :^)

Peut avoir un détail :) ?

par **yos** » 12 Avr 2009, 23:59

Je dis que ya pas équivalence entre "0 est la seule vp" et "non inversible". Ton "c'est-à-dire" et la façon dont tu utilises ceci sous-tend le contraire. Non?

par **Joker62** » 13 Avr 2009, 00:07

Pour moi le c'est à dire, c'est une implication...

Mais, en bon français c'est une équivalence c'est vrai.

par **yos** » 13 Avr 2009, 00:30

Ouais, on peut en discuter mais je pense que "c'est à dire", de même que "autrement dit" s'utilise pour une équivalence.
Là où il y a photo, c'est quand on utilise "lorsque". A éviter à l'écrit j'estime.

En tout cas si tu dis : "A+B nilpotente, donc non inversible donc pas de raison que A et B commutent" (ton premier message si j'ai bien compris), j'arrive pas à te suivre. Tu as affaibli (beaucoup) l'hypothèse et après tu ne vois pas de raison pour que ...
Mais bon, c'est pas important. On va pas y passer la soirée.

par **Alpha** » 13 Avr 2009, 00:35

En fait Joker, ça serait bien que tu rappelles toutes les hypothèses, parce que t'en reprends forcément du poste initial, mais je sais pas lesquelles (si je me contente de A et B commutent j'obtiens pas que A+kB est diagonal(e/isable?) pour tout k dans K).

Merci ;)

par **Joker62** » 13 Avr 2009, 00:58

Pour Yos, c'est parce que je m'étais vainement trompé quant à la proposition que j'avais cru voir dans le sujet d'agreg mais oui on va pas épiloguer :)

Pour Alpha, y'a pas d'hypothèse
On a si A et B commutent alors A+kB est diagonalisable pour tout k dans K

La démo se base sur les sous-espace stable il me semble.

par **Alpha** » 13 Avr 2009, 01:02

Joker62 a écrit:On a si A et B commutent alors A+kB est diagonalisable pour tout k dans K

Ok, alors A non diagonalisable, B = I et k = 0, t'en penses quoi?

par **kazeriahm** » 13 Avr 2009, 10:06

il y a un lien vers le sujet dans le café math

le but est de montrer que pour A et B diagonalisables , A et B commutent ssi A+x*B est diagonalisable dans C pour tout x \in C.

par **yos** » 13 Avr 2009, 10:14

OK, je viens de voir le sujet d'agrég. Il est plus attrayant que d'habitude, je trouve.

par **ffpower** » 13 Avr 2009, 10:15

dire que je me suis posé cette question ya un mois environ lol,j ai meme failli la poster..Pas étonnant que je trouvais pas XD.Sinon,pour répondre au post initial( que tout le monde semble avoir oublier^^):suffit de développer (A+B)² et prendre la trace..

par **yos** » 13 Avr 2009, 12:55

ffpower a écrit:pour répondre au post initial( que tout le monde semble avoir oublié)

La réponse (de Joker) figure dans le post 3.

par **ffpower** » 13 Avr 2009, 13:10

hum,bon bah désolé lol,j avais pas vu :marteau:

par **Alpha** » 13 Avr 2009, 13:44

kazeriahm a écrit:le but est de montrer que pour A et B diagonalisables , A et B commutent ssi A+x*B est diagonalisable dans C pour tout x \in C.

Eh ben voilà, c'était pas si dur que ça de me donner l'énoncé exact :zen:

par **Purrace** » 13 Avr 2009, 19:43

yos a écrit:OK, je viens de voir le sujet d'agrég. Il est plus attrayant que d'habitude, je trouve.

Il est plus facile que les precedents..

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