Matrice nilpotente et rang

[choupine]

Bonjour, je suis face à un petit problème :
j'ai un exercice à résoudre dans lequel on me dit que A est une matrice carrée d'ordre d telle que rg(A)=r

[girdav]

Bonjour,
je ne crois pas : si on définit la matrice par blocs alors cette matrice est de rang mais certainement pas nilpotente.

[choupine]

D'accord...
Dans ce cas comment pourrais-je aborder la question suivante : montrer qu'il existe deux matrices U (dim dxr) et V (dim rxd) tq rgU=rgV=r et A=UV ?
En fait je pensais trouver une base adaptée au problème (c'est pour ça que j'ai pensé aux matrices nilpotentes), et je ne vois pas vraiment laquelle.

[abcd22]

Bonjour,

En fait je pensais trouver une base adaptée au problème (c'est pour ça que j'ai pensé aux matrices nilpotentes), et je ne vois pas vraiment laquelle.

Est-ce que tu connais le résultat qui dit qu'une matrice de rang r est équivalente à la matrice (matrice de dimension dxd, diagonale, avec r 1 puis d - r zéros sur la diagonale) ? Il faut trouver deux bases adaptées (la base d'arrivée est différente de celle de départ) pour que l'application représentée par la matrice s'écrive de cette façon dans ces bases. Dans le cas de J_r les matrices U et V ne sont pas difficiles à trouver.

[choupine]

Merci pour la réponse !
Je ne connaissais pas ce résultat mais étant donné mon parcours scolaire c'est pas vraiment étonnant...
Bon ben il me reste plus qu'à trouver les bases. Encore merci !