Matrice nilpotente

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valsad
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matrice nilpotente

par valsad » 12 Aoû 2010, 13:26

Bonjour,

Soient A et B deux matrices de Mn(R) tel que AB=BA
Je dois montrer que A+B est nilpotente mais je ne sais pas comment m'y prendre.
Pouvez-vous m'aider svp?

Merci.



Nightmare
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par Nightmare » 12 Aoû 2010, 13:30

Salut,

A et B doivent elles même être supposées nilpotentes, sinon c'est évidemment faux (prendre A=B=Id).

Une fois ceci écrit, le fait que nos deux matrices commutent permet, par exemple, d'utiliser la formule du binôme de Newton. Je te laisse exploiter cette piste (c'est quasiment terminé)

girdav
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par girdav » 12 Aoû 2010, 13:31

Bonjour,
je suppose que et sont nilpotentes (sinon le résultat est faux : prendre ). Essaie le binôme de Newton (licite) à une puissance bien choisie.

édit : il y a même la stéréo!

valsad
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par valsad » 12 Aoû 2010, 13:42

j'ai donc supposé qu'il existe k tel que (A+B)^k=0.
J'ai développé (A+B)^k par la formule du binome de newton et j'ai cherché une condition sur k pour que la matrice (A+B)^k=0.
Mon résultat: si A et B sont nilpotentes d'indice a et b alors A+B est nilpotente d'indice k=a+b.

Est-ce la bonne méthode et le bon résultat?

Merci d'avance

girdav
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par girdav » 12 Aoû 2010, 13:51

Ça marche (on montre que ) mais l'indice de nilpotence de la somme peut ne pas être la somme des indices de nilpotence. Par exemple, tu prends la matrice d'ordre qui ne contient que des sauf le terme "en haut à droite" qui est un . On a que et et si on prend alors et : l'indice de nilpotence de la somme est 2, tout comme celui de et celui de

valsad
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par valsad » 12 Aoû 2010, 13:57

Mais comme on ne me demande pas l'indice, je peux considérer que si je prends k;)a+b ma matrice A+B sera nilpotente et j'aurai répondu à la question même si je n'ai pas trouvé l'indice, non?

girdav
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par girdav » 12 Aoû 2010, 14:19

Oui, pas la peine de chercher l'indice, il suffit d'établir l'existence d'un rang pour lequel .

valsad
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par valsad » 12 Aoû 2010, 14:22

Ok Merci!

Dans une autre question, A et B vérifient AB-BA=B et je dois monter que B est nilpotente.
T'aurais un indice pour que faire démarrer?

girdav
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par girdav » 12 Aoû 2010, 14:41

On a pour tout entier non nul. Ça entraîne que B n'a que des valeurs propres nulles.

valsad
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par valsad » 18 Aoû 2010, 11:40

valsad a écrit:Ok Merci!

Dans une autre question, A et B vérifient AB-BA=B et je dois monter que B est nilpotente.
T'aurais un indice pour que faire démarrer?


Bonjour,

Je reviens sur ce sujet:
on a Tr(B^k)=Tr((AB-BA)^k)
Mais Tr((AB-BA)^k)=(Tr(AB-BA))^k?

Merci de votre réponse.

girdav
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par girdav » 18 Aoû 2010, 13:38

C'est vrai ici puisque les deux membres sont nuls mais on n'a pas en général .
En fait, pour établir que on écrit que puis car .

valsad
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par valsad » 18 Aoû 2010, 13:42

Ok! Merci beaucoup! Je n'avais pas du tout pensé à ça! :we:

 

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