Matrice inversible

[pHi]

Bonjour :)

Soit n supérieur ou égal à 2 et soit H un hyperplan dans Mn(K).
Montrer que H contient au moins une matrice inversible.

J'arrive pas à commencer cet exercice car je voix pas ce qu'est un hyperplan dans Mn(K).
Merci de me donner quelques indications :)

[Zebulon]

Bonjour,
je commencerais par dire que si H est un hyperplan de , alors il existe D un sous-espace vectoriel de , supplémentaire de H, donc de dimension 1. Soit , M non nulle, alors D==KM.
Ensuite, raisonnez par l'absurde.

[pHi]

merci bien :)
je vais voir ca tout de suite

[tize]

Bonjour,
je commencerais par dire que si H est un hyperplan de , alors il existe D un sous-espace vectoriel de , supplémentaire de H, donc de dimension 1. Soit , M non nulle, alors D==KM.
Ensuite, raisonnez par l'absurde.

Oui cela voudrait dire que est un espace de dimension 1...

[yos]

Oui cela voudrait dire que est un espace de dimension 1...

Attention car GLn(K) n'est pas un sous-espace.

[tize]

Attention car GLn(K) n'est pas un sous-espace.

Oups, l'horreur ! :marteau:
Merci Yos de m'avoir corrigé

[yos]

Par contre GLn(K) est dense dans Mn(K) (évident), mais ça ne prouve rien car un hyperplan pourrait passer dans les trous.
J'ai aussi trouvé la solution de l'exo. C'est court mais finalement pas tout à fait trivial.

[kazeriahm]

j'avais traite cet exo mais j'avais au prealable que prouve que pour tout f appartenant au dual de Mn(K), il existe A dans Mn(K) tel que f:X->tr(A*X)...

[MooMooBloo]

Je voulais justement de donner cette indication. Avec cet isomorphisme entre et son dual, c'est presque fini! Tu prends et tu remarques que la propriété qui t'interesse ne dépend que du rang, et tu le démontrer pour chaque.

[kazeriahm]

et pour montrer ceci il te suffit de considerer :

pour A dans Mn(K) la forme lineaire Fa:X->tr(A*X) et la fonction g qui va de Mn(K) dans son dual et qui a A associe Fa...

tu prouves que c'est un isomrphisme

[Zebulon]

On ne peut pas trouver plus simple?!
Avec les notations que j'ai introduites : est somme directe de H et D=,
soit N une matrice inversible, si H ne contient aucune matrice inversible, alors donc il existe tel que . Or on peut trouver deux matrices inversibles qui ne sont pas proportionnelles. On en exhibe deux et le tour est joué, non?

[yos]

On ne peut pas trouver plus simple?!
Avec les notations que j'ai introduites : est somme directe de H et D=,
soit N une matrice inversible, si H ne contient aucune matrice inversible, alors donc il existe tel que . Or on peut trouver deux matrices inversibles qui ne sont pas proportionnelles. On en exhibe deux et le tour est joué, non?

Non tu auras N=aM+B avec B dans H (à cause de la somme directe).
C'est pas parce que t'es pas dans l'hyperplan que t'es dans un de ses supplémentaire fixé à l'avance.

[Zebulon]

OK, merci. On voit que ça fait longtemps que je n'ai pas fait d'algèbre linéaire pour avoir commis une erreur si grossière... :marteau:

[yos]

Mais ton idée de départ est bonne et on peut aussi conclure comme ça.

Tu peux même prendre la droite comme supplémentaire de H . Si une matrice nilpotente N n'est pas dans H, tu as N=aIn+B avec B dans H et a non nul, donc N-aIn n'est pas inversible; autrement dit N a une valeur propre non nul a. C'est impossible pour une matrice nilpotente. Ainsi H devrait contenir toutes les matrices nilpotentes. C'est absurde car il est facile de prendre deux nilpotentes dont la somme est inversible.

[kazeriahm]

euh si In c'est la matrice identite, rien ne te dit qu'elle n'appartient pas a H

[yos]

euh si In c'est la matrice identite, rien ne te dit qu'elle n'appartient pas a H

Si c'est le cas, il n'y a rien à prouver.

[kazeriahm]

certes autant pour moi

[yos]

Il y a une généralisation à cet exercice :
Soit E un sous-espace de Mn(K) dont les éléments sont de rang inférieur (ou égal) à r. Démontrer que .
J'ai un peu cherché, sans succès. Alors si ça branche quelqu'un.