Matrice / diagonalisation valeurs propres

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
raphgr38
Messages: 1
Enregistré le: 11 Aoû 2018, 11:50

Matrice / diagonalisation valeurs propres

par raphgr38 » 11 Aoû 2018, 11:56

Bonjour,
je cherche à savoir si la matrice
2 1 -1
2 2 -2
1 1 0
est diagonalisable, pour le savoir il faut bien trouver 3 valeurs propres différentes?

Avec Sarrus, je trouve -x^3 +4x^2 -5x +2 comment faire à partir de là pour trouver les valeurs propres?

Merci pour votre aide



Mimosa
Membre Relatif
Messages: 212
Enregistré le: 19 Aoû 2016, 17:31

Re: Matrice / diagonalisation valeurs propres

par Mimosa » 11 Aoû 2018, 14:24

Bonjour

Je n'ai pas vérifié ton déterminant. Il a une racine évidente , qui permet de trouver toutes les valeurs propres.
Non, une matrice peut être diagonalisable, même si les valeurs propres ne sont pas distinctes.

pascal16
Membre Transcendant
Messages: 3522
Enregistré le: 01 Mar 2017, 13:58
Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV

Re: Matrice / diagonalisation valeurs propres

par pascal16 » 11 Aoû 2018, 17:10

La calculette donne :
2-> (1,1,1)
1->(1,0,1)
1->(1,0,1)
donc le polynôme est bon : (x-2)(x-1)(x-1)

aviateur
Habitué(e)
Messages: 1408
Enregistré le: 19 Fév 2017, 10:59

Re: Matrice / diagonalisation valeurs propres

par aviateur » 12 Aoû 2018, 12:14

Bonjour
Pour compléter la remarque de @mimosa et de @pascal16:
Si les valeurs propres d'une matrice carrée sont toutes distinctes (disons dans ) elle est diagonalisable.
Et bien sûr la réciproque est fausse.

Pour cela pense à la matrice identité qui admet une seule valeur propre 1 et qui pourtant
est diagonalisable.
Ici 1 est valeur propre double donc tout est possible mais vu la calculette de pascal16.....

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3022
Enregistré le: 08 Avr 2015, 13:44

Re: Matrice / diagonalisation valeurs propres

par Pseuda » 12 Aoû 2018, 15:23

raphgr38 a écrit:Avec Sarrus, je trouve -x^3 +4x^2 -5x +2 comment faire à partir de là pour trouver les valeurs propres?

Bonjour,

Les valeurs propres sont les racines de ce polynôme. 1 est une racine évidente (on remplace x par 1 et on obtient 0).

Comme 1 est racine du polynôme, celui-ci est divisible par le binôme x-1. Pour trouver les autres racines, il y a la division euclidienne des polynômes. Tu peux aussi poser -x^3 +4x^2 -5x +2=(x-1)*(ax^2+bx+c) et trouver a, b et c par identification des coefficients.

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3022
Enregistré le: 08 Avr 2015, 13:44

Re: Matrice / diagonalisation valeurs propres

par Pseuda » 12 Aoû 2018, 15:45

Sinon, pour savoir si la matrice est diagonalisable, comme elle a une valeur propre double (qui est 1), il faut déterminer la dimension du sous-espace propre associé à 1 (soit Ker (I-A)).
Si dim Ker (I-A)=1, la matrice n'est pas diagonalisable.
Si dim Ker (I-A)=2, la matrice est diagonalisable.

pascal16
Membre Transcendant
Messages: 3522
Enregistré le: 01 Mar 2017, 13:58
Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV

Re: Matrice / diagonalisation valeurs propres

par pascal16 » 12 Aoû 2018, 22:10

J'ai fait le calcul à la main pour la vap 1 (très faciles), j'attends les calculs du posteur.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 17 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite