Matrice / diagonalisation valeurs propres

[raphgr38]

Bonjour,
je cherche à savoir si la matrice
2 1 -1
2 2 -2
1 1 0
est diagonalisable, pour le savoir il faut bien trouver 3 valeurs propres différentes?

Avec Sarrus, je trouve -x^3 +4x^2 -5x +2 comment faire à partir de là pour trouver les valeurs propres?

Merci pour votre aide

[Mimosa]

Bonjour

Je n'ai pas vérifié ton déterminant. Il a une racine évidente , qui permet de trouver toutes les valeurs propres.
Non, une matrice peut être diagonalisable, même si les valeurs propres ne sont pas distinctes.

[pascal16]

La calculette donne :
2-> (1,1,1)
1->(1,0,1)
1->(1,0,1)
donc le polynôme est bon : (x-2)(x-1)(x-1)

[aviateur]

Bonjour
Pour compléter la remarque de @mimosa et de @pascal16:
Si les valeurs propres d'une matrice carrée sont toutes distinctes (disons dans ) elle est diagonalisable.
Et bien sûr la réciproque est fausse.

Pour cela pense à la matrice identité qui admet une seule valeur propre 1 et qui pourtant
est diagonalisable.
Ici 1 est valeur propre double donc tout est possible mais vu la calculette de pascal16.....

[Pseuda]

Avec Sarrus, je trouve -x^3 +4x^2 -5x +2 comment faire à partir de là pour trouver les valeurs propres?

Bonjour,

Les valeurs propres sont les racines de ce polynôme. 1 est une racine évidente (on remplace x par 1 et on obtient 0).

Comme 1 est racine du polynôme, celui-ci est divisible par le binôme x-1. Pour trouver les autres racines, il y a la division euclidienne des polynômes. Tu peux aussi poser -x^3 +4x^2 -5x +2=(x-1)*(ax^2+bx+c) et trouver a, b et c par identification des coefficients.

[Pseuda]

Sinon, pour savoir si la matrice est diagonalisable, comme elle a une valeur propre double (qui est 1), il faut déterminer la dimension du sous-espace propre associé à 1 (soit Ker (I-A)).
Si dim Ker (I-A)=1, la matrice n'est pas diagonalisable.
Si dim Ker (I-A)=2, la matrice est diagonalisable.

[pascal16]

J'ai fait le calcul à la main pour la vap 1 (très faciles), j'attends les calculs du posteur.