Matrice de covariance - indépendance

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

matrice de covariance - indépendance

par MacManus » 20 Sep 2009, 13:27

Bonjour !

Soient n variables aléatoires réelles définies sur l'espace probabilisé , indépendantes et suivant toutes la loi normale centrée réduite N(0,1) de densité .
Soient des réels. On considère les variables aléatoire Y et Z définies par Y= et Z=

1) Calculer la matrice de covariance du vecteur (Y,Z). A quelle condition portant sur les vecteurs a=() et b=() cette matrice est-elle inversible ?

2) Montrer que les variables aléatoires Y et Z sont indépendantes ssi =0


Merci pour votre aide.



kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 20 Sep 2009, 15:11

Bonjour,

qu'as tu réussi à faire ? Sais-tu former la matrice de covariance d'un couple de v-a ?

MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

par MacManus » 20 Sep 2009, 21:01

eh bien je sais bien quelle "tête" de la matrice dans le cas d'une seule variable aléatoire mais pas dans le cas d'un couple. La matrice est définie par si i j et si i=j. Mais cette définition est bien pour une seule V.A non ?

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 20 Sep 2009, 21:23

Bah non, on parle de matrice de covariance de taille n dans le cas de n variables aléatoires, ici tu en as 2 : Y et Z. Applique la définition dont tu m'as parlé

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 20 Sep 2009, 21:25

Dans ta définition tu parles de la matrice de covariance du vecteur , là tu dois calculer la matrice de covariance de

MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

par MacManus » 20 Sep 2009, 21:28

d'accord on doit avoir dans ce cas la matrice de covariance suivante : .

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 20 Sep 2009, 23:03

voila, donc maintenant faut calculer chacun des termes, en écrivant les définitions de Y et Z, etc... le calcul est pas compliqué si on a pas peur des notations

MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

par MacManus » 21 Sep 2009, 13:21

Salut. Je peut réécrire cette matrice sous la forme :

c'est bien ça? Ou encore :


kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 21 Sep 2009, 13:23

voila, et tu peux calculer var(X_i) et cov(X_i,X_j)

MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

par MacManus » 21 Sep 2009, 13:32

Puisque les V.A. X_1,...,X_n sont indépendantes, on peut écrire que
cov(X_i,X_j)=0 normalement

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 21 Sep 2009, 14:16

oui, si i different de j, que se passe-t-il quand i=j ?

MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

par MacManus » 21 Sep 2009, 14:44

oui cov(X_i,X_j)=0 si i différent de j et dans le cas où i=j, on a cov(X_i,X_i)=var(X_i). Mais je ne vois pas bien comment calculer Var(X_i) même si je connais la définition...

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 21 Sep 2009, 14:46

ca veut dire quoi que X_i suit une loi N(0,1) ?

MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

par MacManus » 21 Sep 2009, 14:52

ah ok oui Var(X_i)=1^2=1
On obtient enfin :

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 21 Sep 2009, 15:00

Voila

vois-tu comment repondre aux questions posees maintenant ?

MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

par MacManus » 21 Sep 2009, 15:06

Eh bien en calculant le déterminant de cette matrice , on doit avoir :

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 21 Sep 2009, 15:26

Oui, tu noteras que le determinant de cette matrice est toujours positif (matrice de covariance = matrice symetrique positive). En poussant un peu, comment exprimer grace a une inegalite tres celebre que le determinant de ta matrice est nulle ?

MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

par MacManus » 21 Sep 2009, 15:37

Oui on utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Mais dans le cas d'égalité (pour cette inégalité), celà revient à dire que les vecteurs a et b sont colinéaires

MacManus
Membre Irrationnel
Messages: 1365
Enregistré le: 28 Avr 2008, 16:41

par MacManus » 08 Fév 2010, 23:03

Bonsoir!

j‘aimerais revenir sur la question 2 du post #1

L'implication de gauche à droite est "simple" (Y et Z indépendants implique cov(Y,Z) = , mais pour la réciproque, ne s'applique-t-elle pas dans le cas de vecteurs gaussiens ? comment procéder ?

merci par avance pour votre coup de main

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 18 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite