Loi normale /matrice de variance-covariance
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Julien21
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par Julien21 » 07 Avr 2012, 13:08
Bonjour,
En considérant une loi normale bivariée avec une fonction de densité f(x,y), je n'arrive pas à démontrer que la matrice de variance covariance
=\left(\begin{array}{cc}\sigma\stackrel{2}{1}&\sigma_{21}\\\sigma_{21}&\sigma\stackrel{2}{2}\end{array}\right))
avec
est semi-définie positive pour
.
Par définition, si M est une matrice carrée symétrique, si A un vecteur colonne quelconque. (avec A;) sa transposée), une matrice M est dite semi-définie positive si et seulement si :
Pourriez-vous s'il vous plait m'apporter votre aide?
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Julien21
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par Julien21 » 07 Avr 2012, 14:55
Personne ne peut m'apporter une aide sur cette démonstration?
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fatal_error
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par fatal_error » 07 Avr 2012, 16:03
salut,
=\sigma_1^2 + \sigma_2^2 \geq 0\\<br />det(\Sigma) = \sigma_1^2\sigma_2^2 - p^2( \sigma_1\sigma_2 )^2 = \sigma_1^2\sigma_2^2 ( 1-p^2))
\Sigma est def semi positive equivaut toutes ses valeurs propres sont supérieures ou égale à 0 cad avec les valeurs propres lambda:
cad
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Julien21
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par Julien21 » 07 Avr 2012, 16:27
fatal_error a écrit:salut,
\Sigma est def semi positive equivaut toutes ses valeurs propres sont supérieures ou égale à 0 cad avec les valeurs propres lambda:
cad
Je vous remercie pour votre réponse. Cependant, dans la deuxième question on me demande de calculer le déterminant.
Existe t-il un autre moyen ou bien y a t-il une erreur dans cet énoncé?
L'exercice est tiré d'un livre sans corrigé.
C'est la raison pour laquelle j'ai posté ma question.
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fatal_error
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par fatal_error » 07 Avr 2012, 18:03
on a depuis la def
^2=p^2x^2\sigma_1^2+y^2\sigma_2^2+2pxy\sigma_1\sigma_2=x^2\sigma_1^2+(p^2-1)\sigma_1^2x^2+y^2\sigma_2^2+2pxy\sigma_1\sigma_2=(p^2-1)\sigma_1^2x^2+X'AX)
cad
^2 - (p^2-1)\sigma_1^2x^2)
si [TEX]p^2-10 pour tout X
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Julien21
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par Julien21 » 08 Avr 2012, 16:11
fatal_error a écrit:on a depuis la def
cad
si [TEX]p^2-10 pour tout X
Merci beaucoup!!!!
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