Matrice à coefficients entiers

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice sur les matrices, mais ça fait depuis un bon moment que je bloque. Du coup j'aurai bien besoin d'un coup de main.


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On considère une matrice A de taille n à coefficients dans Z.

On suppose qu'il existe p>0 un entier tel que : et qu'il existe un entier tel que pour tout divise (coefficient d'indice (i,j) de A-I)

Je dois montrer que A=I

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Les indications qui m'ont été données c'est de majorer les modules des valeurs propres de puis de montrer que son polynôme caractéristique est .

Je pense que le but est de montrer que les coefficients du polynome caractéristique de sont en valeur absolue strictement plus petit que 1, ce permet de conclure car ce polynome est à coefficient entier. (les coeff de sont entiers).



Ce que j'ai déjà remarqué, c'est que A est -diagonalisable et ses valeurs propres sont dans l'ensemble des racines p-ème de l'unité.

J'ai montré que les modules des valeurs propres de sont majorées par

J'ai ensuite voulue majoré les valeurs absolues des coefficients du polynome caractéristique de à l'aide des fonctions symétriques :

en notant P le polynome caractéristique et avec :

j'obtiens :


Mais là je n'avance plus, je n'arrive pas à trouver de majoration plus fine des modules des valeurs propres. Et je ne vois pas d'autres moyens qui me permettraient d'aboutir


Si quelqu'un peut m'aider svp.
je vous remercie d'avance pour vos réponses

[paquito]

Il y a plusieurs informations que tu n'exploite pas; déjà prouve que annule A; or

, donc le polynôme minimal de A est lui aussi scindé et les valeurs propres de n sont toutes de module 1.

De plus, si la trace de A vaut 0; or si o pose , ,

on a si i=j et si donc trace de .

Voilà quelques suggestion; je dois faire un truc; je reprendrais ce problème après. :we:

Soit X un vecteur propre de norme 1 associé à la valeur propre On a:

; or , alors que ; donc la seule

possibilité est ,et le polynôme minimal de est

.

[Doraki]

Je pense que le but est de montrer que les coefficients du polynome caractéristique de sont en valeur absolue strictement plus petit que 1,
[...]
J'ai montré que les modules des valeurs propres de sont majorées par

Je te rappelle que m>=3.

Donc ça montre que les coefficients de ((A-I)/m)^k sont du O((2/m+epsilon)^k), et sont donc des suites d'entiers qui tendent vers 0, donc (A-I)/m est nilpotente et donc (A-I)^n = 0

[paquito]

Je te rappelle que m>=3.

Donc ça montre que les coefficients de ((A-I)/m)^k sont du O((2/m)^k), et sont donc des suites

d'entiers qui tendent vers 0, donc (A-I)/m est nilpotente et donc (A-I)^n = 0

Le problème est terminé! les coefficients de sont de la forme , où et si est

un vecteur propre unitaire associé à la valeur propre ,

et donc, si ,

et toutes les coordonnées de sont

en valeur absolue multipliées par un multiple de m ; donc ;

alors que

, d'où la conclusion.

[Doraki]

et donc, si ,

et toutes les coordonnées de sont

en valeur absolue multipliées par un multiple de m ; donc

Tu dis n'importe quoi
Il n'y a aucun rapport entre "B a des coefficients entiers multiples de m" et "les modules des valeurs propres de B sont des entiers multiples de m" ni avec "les modules des valeurs propres de B sont supérieures à m"

[paquito]

Salut Doraki,

Tu fais comme les étudiants, tu n'apporte strictement rien, ce qui net'empêche pas de faire une remarque de gamin; sinon, tu as raison, ce problème, plus sérieusement étudié s'avère plus vicieux que prévu.

Faisons le points:

On suppose qu'il existe un entier tel que et ; de plus tous les coefficients de sont divisible par un entier

Cette dernière condition entraîne que les coefficients diagonaux de sont à prendre à l'extérieur de l'ensemble {-1, 0 ,2, 3}.

D'autre part, il est clair que le polynôme annule; c'est donc un multiple du polynôme minimal P de et comme Q est scindé, P est scindé aussi, d'où:

est diagonalisable et ses valeurs propres sont des racines p° de l'unité et donc

Cas n=2:



dét, d'où et dét

Remarque: si , on a bien A^2=I mais aucun entier m ne convient car de toute façon, il est impossible d'avoir et.

Cas général: à toi!

[Matt_01]

Salut Doraki,

Tu fais comme les étudiants, tu n'apporte strictement rien, ce qui net'empêche pas de faire une remarque de gamin; sinon, tu as raison, ce problème, plus sérieusement étudié s'avère plus vicieux que prévu.

Je l'ai vu apporter une solution au problème. En comparaison toutes tes considérations ne mènent à rien.

[Doraki]

On suppose qu'il existe un entier tel que et ; de plus tous les coefficients de sont divisible par un entier

Pourquoi tu supposes que A^(p-1) n'est pas In ? tu veux raisonner par l'absurde ?

Cette dernière condition entraîne que les coefficients diagonaux de sont à prendre à l'extérieur de l'ensemble {-1, 0 ,2, 3}.

Certes, mais .... tu t'en sers de ce résultat ?

est diagonalisable et ses valeurs propres sont des racines p° de l'unité et donc

Encore une fois tu parles trop vite. pourquoi penses-tu que p doit être inférieur à n ?

Pour moi j'ai répondu à la question de jonses.

1. jonses a montré que les valeurs propres de A-I sont majorées par 2/m
2. je lui rappelle que m>=3 donc elles sont majorées par 2/3 < 1. (et c'est tout ce qu'il voulait si j'ai bien lu son 1er post)
3. jonses dit qu'il sait en déduire que A-I est nilpotente comme le demande son indication (j'en donne une juste au cas où, il y a d'autres moyens d'en déduire ça)
4. jonses ne demande pas comment on termine l'exo, mais comme j'ai 5 secondes, je te la fais :

Le polynôme caractéristique de A est (X-1)^n,
donc les coefficients de A^k sont des polynômes (de degré < n) en k.
A^p = In, donc la suite A^p, A^2p, A^3p ... est constante, et donc ces polynômes sont constants et donc A=I.

Maintenant si tu as des questions sur des étapes précises je peux donner des détails.

[paquito]

Pourquoi tu supposes que A^(p-1) n'est pas In ? tu veux raisonner par l'absurde ?


Certes, mais .... tu t'en sers de ce résultat ?


Encore une fois tu parles trop vite. pourquoi penses-tu que p doit être inférieur à n ?

Pour moi j'ai répondu à la question de jonses.

1. jonses a montré que les valeurs propres de A-I sont majorées par 2/m
2. je lui rappelle que m>=3 donc elles sont majorées par 2/3 < 1. (et c'est tout ce qu'il voulait si j'ai bien lu son 1er post)
3. jonses dit qu'il sait en déduire que A-I est nilpotente comme le demande son indication (j'en donne une juste au cas où, il y a d'autres moyens d'en déduire ça)
4. jonses ne demande pas comment on termine l'exo, mais comme j'ai 5 secondes, je te la fais :

Le polynôme caractéristique de A est (X-1)^n,
donc les coefficients de A^k sont des polynômes (de degré < n) en k.
A^p = In, donc la suite A^p, A^2p, A^3p ... est constante, et donc ces polynômes sont constants et donc A=I.

Maintenant si tu as des questions sur des étapes précises je peux donner des détails.

De toutes façons, Jones ne s'intéresse plus au problème! Pour n=2, Le polynôme caractéristique de A n'est pas , mais si l'on suppose, car il faut bien raisonner par l'absurde. Mais tout ça 'a plus d'importance;
bonne soirée.

[paquito]

En fait, on peut faire très simple et effectivement sans passer par l'absurde: la relation permet de prouver que le polynôme minimal deest scindé; puis prouve que le polynôme caractéristique est et donc que le polynôme minimal est, soit . Bel exercice. :lol3:

[Matt_01]

le polynôme caractéristique est et donc que le polynôme minimal est

Pourquoi ?

[jonses]

Merci pour vos réponses !

J'ai mis un peu de temps avant de me reconnecter, mais grosso modo l'idée c'est exactement celle de Doraki (en remarquant au préalable que 2/m <1 .... ce qui était en face de moi !)

Du coup ça fait que B=(1/m)(A-I) est une matrice nilpotente (toutes ses valeurs propres sont de module <1, donc B^k va tendre vers 0, or pour tout k, B^k est à coeff entiers, donc les suites (B^k)_{i,j} sont des suites d'entiers qui tendent vers 0, donc sont stationnaires en 0, donc on pourra trouver un entier k tel que tous les (B^k)_{i,j} sont nuls, soit B^k=0)

Or il faut juste remarquer que B est diagonalisable car A l'est, donc B=0, donc A=I