Polynôme à coefficients entiers et divisibilité

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un petit exo sur les polynômes à coefficients entiers et la divisibilité, mais je me lance sur des voies pas du tout efficaces, du coup j'aurai besoin d'un petit coup de pouce :


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Soit un polynômes de degré n à coefficients entiers.
Soit

On suppose que divise,

Je dois montrer que pour tout , m divise P(k)

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Au début, j'ai voulu faire de manière un peu brutale avec entre autres la formule de Taylor, et/ou le développement de P : pas du tout efficace (ça mène nulle part)

Ensuite, j'ai pensé au fait que pour tout ,

divise , mais ça m'a pas vraiment aidé

Et enfin, j'ai essayé d'utiliser le fait qu'il existe un unique n-uplets de polynômes unitaires de degré n tels que pour

(existence et unicité facile à montrer)
Et ce n-uplets est une base de

Je pensais exprimer P dans cette base, puis pour , faire la division euclidienne de k par n : k=nq+r, puis regarder P(k)=P(nq+r), voir s'il est possible d'écrire P(nq+r) comme produit de P(r) et d'un autre entier (ce qui permettrait de conclure): mais je bloque encore.


Si quelqu'un peut me donner une petite indication svp.
je vous remercie d'avance pour vos réponses

[zygomatique]

salut

m divise

m divise

m divise

....



donc m divise P(1) - P(0) = ... ? et P(2) - P(0) = .... ?

donc m divise P(2) - P(0) - 2(P(1) - P(0)) = ....


et ainsi de suite ....

on en déduit que m divise puis puis ....

[Doraki]

Moi j'aurais fait par récurrence sur le degré de P.

[Ben314]

...on en déduit que m divise puis puis ....

Ca, c'est clairement faux : par exemple si alors est divisible par 3 pour tout alors que les coeffs de (à savoir 1 et -1) ne sont pas divisibles par 3.

[Ben314]

Perso, je serais parti du fait que, si, pour fixé et , on pose
alors (car la différence est un polynôme de degré au plus qui s'annule pour les valeurs )
Il suffit alors de montrer que est entier pour tout pour avoir le résultat...

[zygomatique]

je m'en doutais un peu ... car on peut factoriser P(2) - P(0) - 2(P(1) - P(0)) par 2 ... ce qui pose problème .....

[jonses]

Il suffit alors de montrer que est entier pour tout pour avoir le résultat...

Je suis parti sur ton idée, mais pour montrer ça je bloque aussi :

pour k>n (le cas k<n je le ferai si j'arrive déjà à faire celui là)

j'aboutis après calcul à

mais je suis embêté par la fraction qui m'empêche de conclure, et lorsque je recommence mes calculs, j'arrive toujours à la même chose

[Ben314]