J'essaye de faire un exo sur les polynômes, mais j'ai un peu du mal à aboutir à quelque chose de rigoureux ou juste correct :
--
n désigne un entier plus grand que 2
Soit
On suppose qu'il existe A,B deux polynômes à coefficients entiers tels que P=AB
Je dois montrer que A=1 ou A=-1 ou A=P ou A=-P
On m'indique de montrer que si A et B sont de degrés supérieur ou égal à 1, alors A+B=0
--
Perso, je n'arrive pas à montrer l'indication, et je ne vois pas du tout comment faire.
Ce que j'ai fait :
-Si deg(A)=0 (A ne peut pas être nul), alors deg(B)=deg(P)=n et A est un entier, donc en notant b le coefficient dominant de B, je remarque que le coeff de
-Sinon, deg(A)>0, je veux montrer que A=-P ou A=P, ou de manière équivalente que B=-1 ou B=1 (donc je dois montrer que deg(B)=0).
Si deg(B)>0,
alors vu que n=deg(P)=deg(A)+deg(B) on a
or pour tout
donc comme
donc 1,2,..., et n sont n racines distinctes de A-B, or
Donc
Je trouve que mon raisonnement manque cruellement de rigueur. Et en plus je n'arrive pas à utiliser, ni à montrer lindication donnée.
Si quelqu'un peut me donner quelques pistes pour améliorer le raisonnement que je propose, ou bien pour essayer une autre voie svp. je vous remercie d'avance.