Racines d'un polynôme à coefficients entiers

par **yos** » 26 Oct 2009, 18:27

C'est classique. Un théorème de Kronecker je crois.

Racines bornées => coefs bornés => nombre fini de polynômes de degré au plus d ayant ce genre de racines.
Ensuite on voit que l'ensemble des racines des polynômes en question est stable par exponentiation.

par **yos** » 26 Oct 2009, 18:33

C'est même indispensable pour ma dernière phrase (je pense).

par **yos** » 26 Oct 2009, 19:10

Que donne l'exercice avec le polynôme 3x-2 ?

par **yos** » 26 Oct 2009, 19:50

par **yos** » 26 Oct 2009, 20:37

C'est ça :il faut un polynôme unitaire sinon ça coince dès le début du raisonnement (majorer les

n'apporte pas grand chose, alors que majorer les

permet de conclure à la finitude).

par **kazeriahm** » 27 Oct 2009, 10:47

Mais euh... Si z^n=1 c'est que |z|=1. Le théorème affirme donc que pour un polynome unitaire à coefficients entiers, la propriété avoir ses racines dans le disque unité fermé est équivalente à la propriété avoir ses racines sur le cercle ?

par **yos** » 27 Oct 2009, 17:39

kazeriahm a écrit:Mais euh... Si z^n=1 c'est que |z|=1. Le théorème affirme donc que pour un polynome unitaire à coefficients entiers, la propriété avoir ses racines dans le disque unité fermé est équivalente à la propriété avoir ses racines sur le cercle ?

Ben oui; disque unité privé du centre, comme le dit Angélique.

par **kazeriahm** » 27 Oct 2009, 19:39

Sans mettre les mains dans le cambouis (on comprend toujours mieux après), je trouve ca assez fort

Racines d'un polynôme à coefficients entiers

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