Dm de math sur les complexes

[seb2196]

Bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide pour un dm de math sur les complexes. je suis bloqué un peu partout...
voici l'exercice:
soit n appartenant a N* et (En) l'équation (z+1)^(2n)-1=0 sur C

1) determiner les solution de l'equation (En). on posera z0=0 et on mettra les autres solutions z1,z2,...,z2n-1sous forme trigonometrique.
2) positionner (dans le cas particulier ou n=3) z0,z1,z2,...,z2n-1 dans un plan.
on pose Pn= produit allant de 1 à n-1 de sin((k*pi)/(2n))
3) montrer que Pn= produit allant de n+1 à 2n-1 de sin((k*pi)/(2n))
4)en deduire que si Qn=produit allant de 1 à 2n-1 de sin((k*pi)/(2n)), alors Pn=racine de Qn
5)calculer de 2manieres le produit produit allant de 1 à 2n-1 de z indice k et en deduire Qn puis Pn

merci d avance

[Ben314]

Salut,
Vu l'énoncé, j'en déduit que tu as vu ce que l'on appelle "les racines n-ièmes de l'unité".

Si on pose Z=z+1, elle devient quoi ton équation ?

[seb2196]

oui je viens juste de les voir. l'équation devient Z^(2n)-1=0

[Ben314]

mézencore...

[seb2196]

elle devient Z^(2n)=1
ensuite on peut ecrire que Z appartient a U indice 2n={1,w,...,w^(2n-1)}?

[seb2196]

ou w=e^((2*i*pi)/(2n))

[Ben314]

Oui, c'est ça

[seb2196]

merci j'ai compris mais apres comment faire pour z1, z2, ... , z2n-1?

[seb2196]

je pense avoir trouver est ce que z= racine 2nieme de 2 * e^((2*i*pi)*(2*i*pi)/(2n))?

[Ben314]

je pense avoir trouver est ce que z= racine 2nieme de 2 * e^((2*i*pi)*(2*i*pi)/(2n))?

?????
SI tu connait Z=z+1, tu n'as pas une toute petite idée de ce que vaut z ?

[seb2196]

si on remplace Z par z+1 et du coup on passe le 1 de l'autres cote de l'egalite?

[Ben314]

Ben... oui : si Z=z+1 alors z=Z-1...

(et on ne "fait pas passer", on retranche 1 des deux cotés)

[seb2196]

oui pardon donc au resultat que j ai marqué plus haut il manquait juste le -1? desole mais je veux etre sur.

[Ben314]

je pense avoir trouver est ce que z= racine 2nieme de 2 * e^((2*i*pi)*(2*i*pi)/(2n))?

Si c'est de ça que tu parle, c'est du grand n'importe quoi :
- Déja on ne peut pas écrire z= racine 2n-ième de ... dans C vu que des racines 2n-ièmes il y en a plusieurs.
- Ensuite, ton dans ton e^{(2*i*pi)*(2*i*pi)/(2n)} les i s'éliminent (i²=-1) donc ton truc est une exponentielle réelle alors qu'il est évident que les solutions du bidules ne sont pas toutes réelles.

[Ben314]

Z appartient a {1,w,...,w^(2n-1)}?

donc z=Z-1 appartient à {1-1 , w-1 , w²-1 , ... , w^(2n-1)-1}

[seb2196]

non pardon dans l'exponentielle c'est un + entre 2*i*pi et 2*i*pi/2n.
et pour la racine je comprend pas se que sa peut etre...

[Ben314]

non pardon dans l'exponentielle c'est un + entre 2*i*pi et 2*i*pi/2n.

Alors le 2ipi ne sert a rien vu que exp(2ipi)=1 et que 1xA=A.

[seb2196]

ahh bah oui je suis bete... mais la racine ne sert a rien aussi?

[seb2196]

au final on a juste e^(ipi/n)-1?

[Ben314]

je pense avoir trouver est ce que z= racine 2nieme de 2 * e^((2*i*pi)*(2*i*pi)/(2n))?

Là dedans, c'est pas qu'elle ne sert à rien, c'est... qu'elle ne veut rien dire (en tout cas pas avec un symbole =)

En plus, je ne comprend ni d'où tu sort ton truc.. ni ce que tu compte en faire..
Tu as donné l'ensemble des solutions possibles pour Z et tu sait que z=Z-1 : c'est donc fini.