Exercice sur les ensembles et les complexes

[mehdiphone]

Bonjour je bloque sur cet exercice,
Pour tout entier n ;) 1 , on note S n l'ensemble des solutions dans C de l'équation : z ^2n-zn+ 1=0.
1°) Caractériser le module et l'argument des éléments de S n . En déduire cardinal de S n . .
2°) Soit U 6n l'ensemble des racines d'ordre 6n de 1.
a) Montrer que : Sn ;) U6n .
b) S n est-elle une partie stable de U6n pour la multiplication ?
3°) On note T n l'ensemble des solutions dans C de l'équation : z^5 n +z n =1.
a) Montrer que : Sn =Tn "inter"U6n .
b) Application : déterminer toutes les solutions dans C du système : z ^10 +Z^2-1=0
Z^12=1
voilà j'ai calculé la forme exponentielle j'ai trouvé un argument de pi/3 et un module de 1, mais je bloque sur les questions suivantes pouvez vous me guider

[mathelot]

z ^2n-zn+ 1=0.

est ce ?

il y a une astuce à trouver.

[mehdiphone]

est ce ?

si c'est le cas , résoudre

(2)

puis calculer les racines n-ième des solutions trouvées pour (2)

oui c'est cela ON TROUVE COMME Solutions aux racines (1+isqrt(3))/2 (1-isqrt(3))/2 donc le module est 1 et on trouve des arguments pi/3 et -pi/3, ((1+isqrt(3))/2)^(1/n) multiplié par e^i((pi/3n)+2kpi/n)

[mathelot]

solution de module 1 et d'argument
sauf

[mehdiphone]

je ne comprend pas ce que vous avez fait pouvez vous m'expliquer merci?

[mathelot]

c'est la somme de trois termes en progression géométrique de raison

de 1er terme 1.

avec

()

[mehdiphone]

c'est la somme de trois termes en progression géométrique de raison

de 1er terme 1.

avec

()

ah ok merci donc ceci serais le cardinal?
pouvez vous m'aider sur la question 2 je ne comprend pas :/ C'est la 1ere fois que je fais ce genre d'exercice avec des ensembles merci

[mathelot]

pour la 2.a



pour la 2.b
Sn sont les affixes des sommets d'un 3n-gone régulier, privé d'un sommet,
tous les trois sommets.

,

[mehdiphone]

pour la 2.a



pour la 2.b
Sn sont les affixes des sommets d'un 3n-gone régulier, privé d'un sommet,
tous les trois sommets.

,

ah ok j'ai compris
z^3n = e^ipi
(z^3n)² = z6n
(e^ipi)² = 1
et pour la 2)B svp

[mathelot]

(1)



solution de module 1 et d'argument
sauf

les explications reposent sur l'égalité (1)

pour être solution, on annule le numérateur.

(4)

que se passe t il si on annule en même temps le dénominateur ?

(3)

on vérifie directement, que les solutions de (3), ne sont pas solutions de l'équation initiale.

On considère donc les racines de (4), privées des racines de (3)

[mehdiphone]

les explications reposent sur l'égalité (1)

pour être solution, on annule le numérateur.

(4)

que se passe t il si on annule en même temps le dénominateur ?

(3)

on vérifie directement, que les solutions de (3), ne sont pas solutions de l'équation initiale.

On considère donc les racines de (4), privées des racines de (3)

ah je comprend maintenant je n'aurais jamais trouvé cela seul :hum: , qu'en est t'il de la suite merci

[mehdiphone]

ah je comprend maintenant je n'aurais jamais trouvé cela seul :hum: , qu'en est t'il de la suite merci

la question 2)B enfait :hum:

[mathelot]

3°) On note T n l'ensemble des solutions dans C de l'équation : z^5 n +z n =1.
a) Montrer que : Sn =Tn "inter"U6n .

les solutions (les éléments de Sn) vérifient

si alors

[mehdiphone]

les solutions (les éléments de Sn) vérifient

si alors

pouvez vous m'expliquer d'ou vient le 2ND Membre dde l'égalité svp merci!

[mathelot]

les solutions (les éléments de Sn) vérifient

si alors

[mehdiphone]

si alors

ah j'ai compris ! mais comment je vais réutiliser cela dans la derniere question. mercibeaucoup de prendre du temps pour m'aider

[mathelot]

b) Application : déterminer toutes les solutions dans C du système : z ^10 +Z^2-1=0 (5)
Z^12=1

on multiplie l'égalité (5) par

[mehdiphone]

on multiplie l'égalité (5) par

ET Je n'ai plus qu'à résoudre l'équation.... Un grand merci.. Bonne soirée