Logique maths sup

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MoonX
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Logique maths sup

par MoonX » 31 Oct 2016, 10:13

Bonjour,

Voici un énoncé sur lequel je bloque :

Soit f:EF une application
Et soit g:P(E)P(F)
Xf(X)

Montrer que si f est surjective, alors g est surjective (et réciproquement)

Voici ce que j'ai commencé par faire, mais je pense que c'est faux :

Soit y appartenant à F. f est surjective, alors il existe un x dans E tel que :

y=f(x)

Soit A appartenant à P(F) tel que :
{y}=f(A)=g(A)

Or f étant surjective, f({x}) correspond à l'ensemble des images par f de {x}, qui contient {y}. Donc f({x}) est inclue dans f(A) et donc dans g(A).

(c'est ici que j'ai l'impression d'être allé trop vite...)

Donc on a exhiber un antécédent de {y} par g. Donc g est surjective.



Doraki
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Re: Logique maths sup

par Doraki » 31 Oct 2016, 12:39

Non ça ne va pas du tout

Soit y appartenant à F

Déjà là on tique parcequ'on te demande de montrer un truc de la forme "pour tout A dans P(F), ..." donc tu dois quasiment automatiquement commencer par "soit A dans P(F)."

Bon apparemment tu voulais juste rappeler ce que surjective voulait dire mais bon on voit pas trop pourquoi t'as dit tout ça.

Soit A appartenant à P(F) tel que : {y}=f(A)=g(A)


A est dans P(F). Comme f est de E dans F et que g est de P(E) dans P(F),
écrire f(A) et g(A), ça n'a aucun sens.
Donc là je vois vraiment pas trop ce que tu veux faire. Peut-être tu veux dire que tu prends A = {y} mais il y a beaucoup de parties de F qui ont plusieurs éléments, donc ça ne va toujours pas.

Or f étant surjective, f({x}) correspond à l'ensemble des images par f de {x}

Là tout d'un coup tu parles d'un x et on sait pas d'où il sort.
Si tu te sers de la surjectivité de f il faut le dire maintenant et pas complètement à part avant.

Il vaudrait mieux que tu écrives f pour f et g pour l'image directe par f, parceque là on sait pas si tu parles de f(x) ou de g({x}), et quand tu écris f({x}) on ne sait pas si tu veux dire g({x}) ou si tu penses que {x} a une image par f. Surtout quand tu parles de l'ensemble des images par f de {x}, c'est pas possible. f est de E dans F, {x} est dans P(E), l'image par f de {x}, c'est un peu n'importe quoi.

Question bonus : il y a combien d'images de x par f ?

, qui contient y. Donc f({x}) est inclue dans f(A)

(je vais passer le fait que f(A) n'a aucun sens et le remplacer par {y} puisque tu as supposé ça)
Si j'ai bien suivi tu utilises le fait que "si machin contient y alors machin est inclus dans {y}" ?
Ben non par exemple si y=0, {0;1} contient 0 mais {0;1} n'est pas inclus dans {0} puisque 1 n'est pas un élément de {0}.

Donc on a exhiber un antécédent de {y} par g

Là encore t'as l'air de penser que "si machin est inclus dans {y} alors machin = {y}", qui est faux aussi.

Donc g est surjective.

ben non, il y a des parties de F qui ne sont pas des singletons.

On te demande de montrer
"pour tout A de P(F), il existe B dans P(E) tel que A = g(B) = {y de F | il existe x dans B tel que y = f(x)}"

Donc il faut quasiment automatiquement que tu écrives :

"Soit A dans P(F) tel que rien du tout.
Prenons B dans P(E) défini par ??? et montrons que A = {y de F | il existe x dans B tel que y = f(x)}"
ensuite tu le démontres et à la fin t'as gagné.

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zygomatique
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Re: Logique maths sup

par zygomatique » 31 Oct 2016, 13:36

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

MoonX
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Re: Logique maths sup

par MoonX » 31 Oct 2016, 16:08

(Oui, c'est aussi moi. C'est juste que comme je fais des fautes d'inattention à chaque fois que je pose une question, c'est plus facile sur ce forum qui a une fonction editer).

Alors je n'y arrive toujours pas, mais voici ce que j'ai fais :

Soit A dans P(F).
Soit B dans P(E) tel que g(B)=A?? (Déjà ici je suis pas sûr)
Soit y dans F
f étant surjective, il existe un x dans B tel que f(x)=y
Or g(B)=f(B),


Je me rend bien compte que c'est pas bon mais j'ai vraiment du mal à comprendre...

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zygomatique
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Re: Logique maths sup

par zygomatique » 31 Oct 2016, 19:38

Soit A dans P(F).
Soit B dans P(E) tel que g(B)=A?? (Déjà ici je suis pas sûr)
Soit y dans F
f étant surjective, il existe un x dans B tel que f(x)=y
Or g(B)=f(B)


toujours du grand n'importe quoi ...

as-tu lu ce que Doraki a écrit ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Logique maths sup

par MoonX » 31 Oct 2016, 20:08

Oui j'ai lu, mais je suis totalement largué, j'ai beau essayer je n'y arrive pas :(

C'est peut-être mieux là ? :?

Soit A dans P(F).
Soit y dans A, f étant surjective :
il existe au moins un x dans E tel que :
f(x)=y

Notons B l'ensemble des x tel que f(x)=y

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Re: Logique maths sup

par zygomatique » 31 Oct 2016, 20:21

soit A dans P(F)

f est surjective donc pour tout a dans A il existe y dans E tel que f(y) = a

notons B = { y dans E / f(y) = a avec a dans A}

...
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Re: Logique maths sup

par MoonX » 31 Oct 2016, 20:50

Je précise que je ne fais pas exprès et que je suis sur cet exercice depuis ce matin, j'ai beau cherché, relire 10 fois mon cours, je n'arrive pas à "saisir" vraiment le chapitre, donc je bloque, sur des trucs qui peuvent vous sembler facile certe...


Je vois pas comment continuer là, à moins que ce soit déjà fini, dans ce cas je comprend pas trop, mais :


Soit A dans P(F)

f est surjective donc pour tout a dans A il existe y dans E tel que f(y) = a

notons B = { y dans E | f(y) = a avec a dans A}

Alors g(B)=A
Alors g est surjective.

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Re: Logique maths sup

par zygomatique » 31 Oct 2016, 20:58

oui tu as bien trouvé un antécédent de A par g
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Logique maths sup

par Doraki » 31 Oct 2016, 21:20

Dans ton cours il ya peut-être quelquepart que si f : E -> F et si A est une partie de F alors s'appelle l'ensemble image réciproque de A par f, et est souvent noté .

Pour montrer formellement que g(f-1(A)) = A, tu peux procéder par double inclusion.

si y est dans g(f-1(A)), ça veut dire qu'il existe un x dans f-1(A) tel que f(x) = y.
Mais par définition de f-1(A), f(x) est dans A, et donc y est dans A. Ce qui montre que g(f-1(A)) est inclus dans A (toujours).

Pour l'autre sens, si y est dans A, alors on aimerait bien montrer que y est dans g(f-1(A)), c'est à dire trouver un x dans f-1(A) tel que f(x)=y. Ben là si on suppose f surjective, ça dit qu'il existe un x dans E tel que f(x)=y. Si on prend un tel x, il reste plus qu'à montrer que ce x est dans f-1(A). Par définition de f-1(A), ça revient à montrer que f(x) est dans A, et ça c'est vrai puisque f(x)=y et y est dans A.

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Re: Logique maths sup

par MoonX » 31 Oct 2016, 21:34

Merci beaucoup, c'est plus claire maintenant. J'ai vu effectivement la notion d'image réciproque, mais comme j'avais pas bien compris tout le cours juste avant, bah je pouvais pas vraiment comprendre la suite.

C'est bien clair maintenant, merci encore !

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Re: Logique maths sup

par MoonX » 01 Nov 2016, 11:50

J'ai aussi la réciproque à faire, (montrer que g surjective implique que f est surjective) j'ai fais une tentative :

Supposons g surjective.
Soit y dans F.

g étant surjective, il existe un X dans P(E) tel que : g(X)={y}
Il suffit de montrer que f(x) est dans g(X)

(c'est ici que je ne sais pas trop comment faire...)

A moins que ma méthode ne soit pas bonne, dans ce cas dites le moi

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Re: Logique maths sup

par Ben314 » 01 Nov 2016, 13:17

MoonX a écrit:Supposons g surjective.
Soit y dans F.

g étant surjective, il existe un X dans P(E) tel que : g(X)={y}
Jusque là, c'est correct et ça semble un bon début, mais
MoonX a écrit:Il suffit de montrer que f(x) est dans g(X)
c'est qui ce "petit x" qui apparait tout d'un coup et qui sort de nulle part ?
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Re: Logique maths sup

par MoonX » 01 Nov 2016, 14:19

Oui pardon, j'ai oublié de préciser :

"il suffit de montrer qu'il existe un x dans E tel que f(x) est dans g(X) "

C'est ça que je voulais dire

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Re: Logique maths sup

par MoonX » 01 Nov 2016, 18:31

Est-ce que c'est mieux ??

Soit y dans F.

g étant surjective, il existe un X dans P(E) tel que : g(X)={y}
Or g(X)=f(X), donc il existe un x dans E tel que f(x) est dans g(X).
Donc f(x) est dans {y}
Donc f(x)=y
Donc f est surjective

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Re: Logique maths sup

par Ben314 » 01 Nov 2016, 20:09

MoonX a écrit:Soit y dans F.
g étant surjective, il existe un X dans P(E) tel que : g(X)={y}
Or g(X)=f(X), donc il existe un x dans E tel que f(x) est dans g(X).
Donc f(x) est dans {y}
Donc f(x)=y
Donc f est surjective
C'est cohérent, mais je comprend pas le "donc" en rouge.
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Re: Logique maths sup

par MoonX » 01 Nov 2016, 20:22

C'edt bon si je remplace le "donc" par "Par définition de l'image direct"?

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Re: Logique maths sup

par Ben314 » 01 Nov 2016, 21:57

Je vais poser la question différemment pour voir si tu "tilte".
On oublie l'énoncé et on regarde juste ce bout là de la preuve :
Si f:E->F et que X est une partie quelconque de E, est-ce qu'on est sûr qu'il existe un x de E tel que f(x) soit dans f(X) ?
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Re: Logique maths sup

par MoonX » 01 Nov 2016, 23:42

Oui je suis sûr, parce que si c'est une partie quelconque de E, X contient forcément un élément.

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Re: Logique maths sup

par Ben314 » 01 Nov 2016, 23:47

ben... justement, non, si X c'est l'ensemble vide (qui est bel et bien une partie de E) alors X ne contient aucun élément.
Modifié en dernier par Ben314 le 01 Nov 2016, 23:55, modifié 1 fois.
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