Linéarité des dérivée partielles

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Dudier
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linéarité des dérivée partielles

par Dudier » 14 Juin 2018, 13:42

Bonjour,
j'ai du mal à comprendre pourquoi lorsqu'on fais une dérivée comme celle ci-dessous, on a le droit de simplement additionner la dérivée selon y. Je comprends qu'on doive en tenir compte, mais comment se fait-il qu'on puisse simplement l'additionner pour toutes les fonctions ? J'ai le même problème dans le cas des fonctions composées (dérivée après changement de variable en coordonnées polaires d'une fonction quelconque de classe C1, ou dans le cas des polynômes de Taylor à plusieurs variables).



Merci d'avance à ceux qui m'aideront à comprendre cette propriété :D



lionel52
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Re: linéarité des dérivée partielles

par lionel52 » 14 Juin 2018, 14:22

Hello ça s'appelle la "chain rule" http://www.bibmath.net/dico/index.php?a ... haine.html

Et la formule c'est plutôt ça :

En posant

Dudier
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Re: linéarité des dérivée partielles

par Dudier » 14 Juin 2018, 14:52

oui désolé j'ai mal écrit ce que je voulais dire : je connais la règle, mais j'arrive pas à comprendre pourquoi elle est correcte... c'est un peu bizarre comme question je sais mais j'ai du mal à me convaincre qu'en faisant comme ça on arrive à un truc correct (même en ayant fait pas mal d'exemples avec des changements de variables pour voir). J'ai du mal à sentir pourquoi c'est légitime de faire ça :? Est-ce qu'on peux faire cette opération comme ça grâce à la différentielle de la fonction autour du point ? (fonction linéaire L telle que f(x) = f(a) + L(x-a) + r(x) selon mon cours)

Dudier
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Re: linéarité des dérivée partielles

par Dudier » 14 Juin 2018, 14:55

J'ai comme l'impression qu'on aura des termes en trop en faisant comme ça

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Ben314
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Re: linéarité des dérivée partielles

par Ben314 » 15 Juin 2018, 16:09

Salut,
En fait, la "règle", c'est tout simplement la vision calculatoire de la formule générale (valable y compris en dimension infinie) donnant la différentielle d'une composée de deux fonctions: : résultat parfaitement naturel et évident au vue de la définition d'une différentielle (= Formule de taylors au rang 1).
Ensuite la formule calculatoire que tu cite, c'est le cas particulier de cette formule là lorsque lorsque l'on est en dimension finie et que la composée d'application linéaire correspond en fait au produit matriciel.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Kolis
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Re: linéarité des dérivée partielles

par Kolis » 15 Juin 2018, 22:51

Toujours les mêmes emm... quand on écrit, à la physicien, les dérivées partielles avec des lettres pour désigner les variables sans dire au préalable dans quel ordre on met ces variables.

L'habitude veut que sont dans cet ordre mais avec un en plus il n'y a plus moyen de comprendre.

Bref, quelle est la fonction que tu veux dériver ? Probablement à dériver au point .
Ce n'est qu'une fonction d'une variable réelle, la notation en dérivée partielle ne s'impose pas.
Et pour le calcul, la composition de fonctions différentiables proposée par Ben314 est ce qu'il y a de mieux.

Pseuda
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Re: linéarité des dérivée partielles

par Pseuda » 18 Juin 2018, 07:38

Bonjour,

C'est une fonction réelle de variable réelle, mais définie comme composée de 2 fonctions qui ne le sont pas :

de : .

Dès lors (je vais essayer d'expliciter) :

(car différentielle de fonction à variable réelle)
=
(car différentielle d'une fonction composée)
=
(définition de o loi de composition)
=
(car est une fonction de variable réelle)
=
(par définition de , et dérivée d'une fonction vectorielle)
=
(car propriété des différentielles : l'accroissement linéaire de la fonction en un point, i.e. l'approximation linéaire de l'accroissement, se calcule comme la somme des accroissements linéaires sur chaque variable en ce point, i.e. la somme des dérivées partielles de chaque variable en ce point pondérée par l'accroissement de la variable correspondante).

Maintenant, si , alors , et si on dérive au point :
.

Par contre (à supposer qu'il y ait d'autres variables), je ne vois pas que : .
C'est plutôt ?

 

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