Linéarité

[jeje56]

Bonjour,

Je travaille sur la leçon sur la convexité du Capes ;

f convexe et concave ssi f est affine...

Si f convexe et concave, on a pour tout t entre 0 et 1 et tout x,y :
f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)
On déduit que f est linéaire, et donc affine...

Quelle lien y-a-t-il entre la "linéarité" de f et la notion d'application linéaire ?... J'ai du mal à faire ce lien... surtout qu'ici, le t est seulement compris entre 0 et 1...

Merci !

[dudumath]

les seules applications linéaires de R dans R sont les fonctions f:x-> ax

(on peut facilement le montrer en résolvant l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)+f(y))


Une autre manière de voir la chose est peut-être de dire que:

f convexe => dérivée seconde positive
f concave => dérivée seconde négative

donc dérivée seconde nulle et f est affine

[Doraki]

En choisissant x,y, et t convenablement, tu peux exprimer f(z) en fonction de f(0) et de f(1), pour tout z.
Et si tu le fais tu obtiens immédiatement que pour tout z, f(z) = f(0) + z*(f(1)-f(0))...

[Ben314]

Fait gaffe quand même :

Si f convexe et concave, on a pour tout t entre 0 et 1 et tout x,y :
f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)
On déduit que f est linéaire, et donc affine...

ben non, on en déduit pas du tout qu'elle est linéaire !!! seulement qu'elle est affine.

Quelle lien y-a-t-il entre la "linéarité" de f et la notion d'application linéaire ?... J'ai du mal à faire ce lien......

Là, je t'avoue que moi aussi j'ai du mal à "faire le lien" comme tu dit. Plus précisément, je vois pas entre quoi et quoi tu cherche à fire le lien.
Une application f (entre e.v.) elle est (ou elle n'est pas) linéaire.... et on va évidement utiliser la linéarité de f... uniquement lorsque f est linéaire !!!

Enfin, une question : dans quel cadre te place tu : fonctions de R dans R ou de R^n dans R ou d'un espace affine quelconque dans R ?

[jeje56]

Salut Ben,

f est de R dans R... En fait, ma question est : comment voir que f est affine (et non linéaire apparemment) d'après l'équation fonctionnelle ?...

[Ben314]

Le plus rapide (mais à mon avis le moins esthétique) est d'utiliser ce que t'as dit dudumath, mais attention : une fonction convexe (ou concave) peut trés bien ne pas être dérivable donc le théorème (qu'il faut évidement avoir déjà démontrer pour l'utiliser) :
f convexe <=> dérivée seconde positive ou nulle
f concave <=> dérivée seconde négative ou nulle
N'est valable que pour les fonctions 2 fois dérivables.
Il faut donc commencer par montrer qu'une fonction à la fois convexe et concave est forcément deux fois dérivable (c'est là que la preuve fait "un peu concon")

Perso, j'utiliserait plutôt la "méthode doraki" : la formule que tu a :
f(z)=tf(x)+(1-t)f(y) où z=tx+(1-t)y
peut s'appliquer à tout triplet x,y,z tel que z soit entre x et y (pour que t soit entre 0 et 1).
Pour un x quelconque, tu considére trois cas selon la position de x par rapport à 0 et par rapport à 1 qui te conduit à écrire trois formules qui... disent la même chose, à savoir que f(x) = [f(1)-f(0)] x + f(0) dans tout les cas.

[jeje56]

Pour un x quelconque, tu considére trois cas selon la position de x par rapport à 0 et par rapport à 1 qui te conduit à écrire trois formules qui... disent la même chose, à savoir que f(x) = [f(1)-f(0)] x + f(0) dans tout les cas.

J'avoue que j'ai du mal à voir... Pour les notations, tu veux dire "pour un z quelconque" non ?...

[Ben314]

Tu peut bien changer le nom de la lettre, ça change pas grand chose.
L'idéal pour que ce soit plus clair serait de l'appeler w.

si w<0, tu applique la formule avec x=w, y=1, z=0 (z entre x et y)
si 0si w>1, tu applique la formule avec x=0, y=w, z=1 (z entre x et y)

et tu trouve... trois fois la même chose !!!

[jeje56]

J'avoue que je ne vois pas... Qu'est ce que w ?

Je sais que si f vérifie l'équation, f entre x et y est entièrement déterminée par f(x) et f(y)...

[Ben314]

Oui, mais il faudrait comprendre qu'en dehors de [x,y] eh ben... c'est pareil !!!

La formule
f(z)=tf(x)+(1-t)f(y) où z=tx+(1-t)y peut s'appliquer pour tout x1, tu applique la formule avec x=0, y=w, z=1 (z est bien entre x et y)

Et dans les trois cas, tu trouve... la même chose.

[jeje56]

J'obtiens :

f(0)=t"f(w)+(1-t)*f(1)
f(1)=t"f(0)+(1-t)*f(w)
f(w)=t"f(0)+(1-t)*f(1)

Et de là comment exprimer f(w) en fonction de w ?...

[Doraki]

J'obtiens :

f(0)=t"f(w)+(1-t)*f(1)

La formule c'est f(tx+(1-t)y) = tf(x)+(1-t)f(y)
Qu'est-ce que t'as mis à la place de x, y, et t pour obtenir ce genre de truc ??
x = ?
y = ?
t = ?

[jeje56]

x=w, y=1 et t bah je ne l'ai pas touché...

[Doraki]

Ben dans ce cas là tu obtiens que pour tout w, et pour tout t dans [0;1],
f(tw+(1-t)) = tf(w) + (1-t)f(1).

Quel t faut-il prendre en fonction de w pour que à gauche tu aies f(0) ?

[Nightmare]

lUne autre manière de voir la chose est peut-être de dire que:

f convexe => dérivée seconde positive
f concave => dérivée seconde négative

donc dérivée seconde nulle et f est affine

Comme cela a déjà été dit, f n'est pas forcément dérivable (et encore moins deux fois). Par contre, on peut affirmer sans hypothèse de dérivabilité que f est convexe (resp. concave) si et ssi son taux d'accroissement est croissante (resp. décroissante) en tout point a. Si la fonction est convexe et concave, celui-ci est constant et on en déduit aisément ce qu'on veut.

[jeje56]

Ben dans ce cas là tu obtiens que pour tout w, et pour tout t dans [0;1],
f(tw+(1-t)) = tf(w) + (1-t)f(1).

Quel t faut-il prendre en fonction de w pour que à gauche tu aies f(0) ?

Ok, j'ai enfin "à peu près compris"... Mais comment avez vous su dès le départ qu'on retrouverait tjrs la même équation ?
C'était quand même pas trivial... enfin pour moi ^^

[jeje56]

Par contre, on peut affirmer sans hypothèse de dérivabilité que f est convexe (resp. concave) si et ssi son taux d'accroissement est croissante (resp. décroissante) en tout point a. Si la fonction est convexe et concave, celui-ci est constant et on en déduit aisément ce qu'on veut.

Oui d'accord

[Ben314]

Ok, j'ai enfin "à peu près compris"... Mais comment avez vous su dès le départ qu'on retrouverait tjrs la même équation ?
C'était quand même pas trivial... enfin pour moi ^^

Ca vient du fait que, dés qu'on a un peu manipulé les fonctions convexes, on sait que graphiquement, la définition est :
"Quel que soit les deux points M et N situés sur la courbe, le segment [MN] est entièrement au dessus de la courbe"
Mais que cette définition implique que
"le reste de la droite (MN) (i.e. la droite privée du segment) est en dessous de la courbe"
Graphiquement parlant, ça me parrait totalement évident et, effectivement à vérifier par le calcul, ç'est un tout petit peu moins évident.

[jeje56]

Oé dac... :-)