Linéarité et Quadrature

par **barbu23** » 20 Fév 2010, 21:47

Bonsoir à tous : :happy3:
Soit :

une application définie par :

.
Existe - t-il des applications linéaires :

definies par :

pour tout :

tels que :

i.e :

Merci d'avance ! :happy3:

par **girdav** » 20 Fév 2010, 21:53

N'y a-t-il pas un problème de définition : tu dis que

part de

pour arriver dans

et on lui demande d'accueillir des complexes?

par **barbu23** » 20 Fév 2010, 22:00

Oui, c'est vrai ! voilà ! c'est corrigé ! :happy3:

par **Ben314** » 20 Fév 2010, 22:01

Salut Barbu,
En admettant que tout se passe bien dans le même ensemble (R ou C),
ta "fonction" f est une forme quadratique dont la matrice associée est :

Et tes quatres formes linéaires représentent à elles quatre un endomorphisme

de R^4 (ou de C^4) de matrice

.
Tu veut que

et cela se traduit matriciellement par ... (je te laisse chercher...)

P.S. l'ensemble des endomorphismes qui vérifient ta relation forment un groupe qui s'appelle... (réfléchi...)

P.S.2 Concernant la structure du groupe, ce n'est pas la même chose dans R (invariant des formes quadratiques = rang ET signature) que dans C (seul invariant=rang)

par **barbu23** » 21 Fév 2010, 12:19

Ben314 a écrit:Salut Barbu,
En admettant que tout se passe bien dans le même ensemble (R ou C),
ta "fonction" f est une forme quadratique dont la matrice associée est :

Et tes quatres formes linéaires représentent à elles quatre un endomorphisme de R^4 (ou de C^4) de matrice .
Tu veut que et cela se traduit matriciellement par ... (je te laisse chercher...)

P.S. l'ensemble des endomorphismes qui vérifient ta relation forment un groupe qui s'appelle... (réfléchi...)

P.S.2 Concernant la structure du groupe, ce n'est pas la même chose dans R (invariant des formes quadratiques = rang ET signature) que dans C (seul invariant=rang)

Bonjour : :happy3:
Merci à vous deux pour ces precisions :
Voiçi ce que je comprends de ce que vous ecrivez : :happy3:

se taduit matriciellement par :

c'est à dire que :

c'est à dire :

.

est inversible, donc :

c'est à dire :

Ben, après, je ne sais pas quoi te dire sur la stucture du groupe dont tu me parles ! :happy3:
Aidez moi ! Merci d'avance ! :happy3:

par **Ben314** » 21 Fév 2010, 13:50

Non, dire que la matrice A est celle de la forme quadratique

signifie que

où

est le vecteur colonne des coordonnées de

.
Donc

se traduit par

.

par **barbu23** » 21 Fév 2010, 14:14

Ah, d'accord, tu parles là de matrice associée à la forme quadratique ! d'accord ! :happy3:
Par contre, nous ,on cherche la traduction matricielle de ça :

, contrairement à ce que tu ecris :

Bref :

Par conséquent :

:hein:

par **Ben314** » 21 Fév 2010, 15:01

Non, c'est (encore) moi qui me suis gourré dans les lettres du post #6.
Je reprend :
Dire que la matrice A est celle de la forme quadratique

signifie que

où

est le vecteur colonne des coordonnées de

.
Donc

se traduit par

où

est la matrice de l'endomorphisme

En fait, l'ensemble des endomorphisme ayant cette propriété est le groupe orthogonal assocéè à la forme quadratique

.
Utiliser des formes quadratiques sur C (à la place de formes hermitiennes habituelles) est un peu "louche" mais cela a quand même du sens et l'ensemble des "

-isométries" (avec des guillemets vu que

n'est pas à valeurs réelle) est bien un groupe (car

est inversible).
Comme

est semblable (au sens forme quadratique) à

, ton groupe est congugué du groupe des matrices

telles que

par **barbu23** » 21 Fév 2010, 21:04

Merci Ben314 pour ces precisions ! Merci beaucoup ! :happy3:

par **barbu23** » 24 Fév 2010, 12:20

Bonjour à tous : :happy3:
Soient :

definie par :

Je voudrais savoir quel sont les endomorphismes

dont leurs matrices associées sont :

, tel que :

A quel groupe appartiennent les

? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:
P.S : Celà ressemble en quelques sortes au même problème que celui du debut de ce fil ! Or ici,

, n'est pas une forme quadratique ( i.e : de degré

), mais une forme ( je ne sais pas comment elle s'appelle :briques: forme cubique :zen: ) ( i.e : de degré

)

par **barbu23** » 24 Fév 2010, 14:20

svp, un petit coup de main ! :happy3:

par **barbu23** » 24 Fév 2010, 19:51

svp, ne connaissez vous pas un lien qui parle des formes cubique ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 25 Fév 2010, 12:33

un petit coup de main svp ! :happy3:

par **barbu23** » 08 Mar 2010, 13:08

Ben314 a écrit:Non, c'est (encore) moi qui me suis gourré dans les lettres du post #6.
Je reprend :
Dire que la matrice A est celle de la forme quadratique signifie que où est le vecteur colonne des coordonnées de .
Donc se traduit par où est la matrice de l'endomorphisme
En fait, l'ensemble des endomorphisme ayant cette propriété est le groupe orthogonal assocéè à la forme quadratique .
Utiliser des formes quadratiques sur C (à la place de formes hermitiennes habituelles) est un peu "louche" mais cela a quand même du sens et l'ensemble des "-isométries" (avec des guillemets vu que n'est pas à valeurs réelle) est bien un groupe (car est inversible).
Comme est semblable (au sens forme quadratique) à , ton groupe est congugué du groupe des matrices telles que

Bonjour, :happy3:
@Ben314 :
Comment passes - tu de cette expression :

à cette expression :

, pour dire que finalement,

la matrice associé à l'endomorphisme

est un element du groupe orthogonal ? :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

par **Ben314** » 08 Mar 2010, 13:17

Je n'ai pas dit que ton groupe EST le groupe des matrices M telles que tMM=In, mais qu'IL EST CONJUGUE à ce groupe.
Cela vient de la réduction des formes quadratique (méthode de Gauss) qui te dit que A=tPP avec P inversible.
Donc ton tMAM=A peut s'écrire tMtPPM=tPP, c'est à dire tNN=In où N=PMP^-1.

De plus, le groupe des matrices COMPLEXES telles que tNN=In n'est pas le groupe orthogonal (qui est réel) ni le groupe unitaire (il faut une conjugaison en plus de la transposition dans ce cas) : c'est ce que je t'ai mis dans le post : considérer des formes quadratique sur C n'est pas interdit, mais ce n'est pas le plus naturel...
Je ne sais plus comment on note ce groupe (mais je sais que la notation existe...)

par **barbu23** » 08 Mar 2010, 13:51

D'accord ! Merci ! :happy3:

De plus, le groupe des matrices COMPLEXES telles que tNN=In n'est pas le groupe orthogonal (qui est réel) ni le groupe unitaire (il faut une conjugaison en plus de la transposition dans ce cas) : c'est ce que je t'ai mis dans le post : considérer des formes quadratique sur C n'est pas interdit, mais ce n'est pas le plus naturel...
Je ne sais plus comment on note ce groupe (mais je sais que la notation existe...)

Tu parles là, du groupe symplectique non ? :zen:
En tous cas, merci pour ta reponse.
Soit :

.
Soit :

Alors, d'après la reduction des formes quadratiques :

. :happy3:

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