Limite d'une intégrale à paramètre

[CC_]

Bonsoir,

J'ai un petit souci pour justifier un résultat sur les intégrales à paramètre. On travaille ici en théorie de Lebesgue et non de Riemann, je précise au cas où !

On pose , où f est intégrable. Le but est de montrer que .
On pourrait montrer simplement avec le théorème de convergence dominée, en introduisant la suite d'applications , que , mais cela ne suffit pas et n'implique pas le résultat que je cherche.

Avez-vous une idée ?
Merci !

[alavacommejetepousse]

bonsoir

ben si ça suffit

fn (t)-> 0 et f domine fn

[CC_]

Hello,
Oui mais il me semble qu'il y a un problème. "g(n) tend vers 0" ne me semble pas logiquement équivalent à "g(t) tend vers 0" : on a une suite d'un côté, une fonction de l'autre.
On peut par exemple supposer dans ce type de cas que g(n) = 0 pour tout naturel, mais qu'entre deux naturels, la fonction remonte toujours en y=2, ou ce genre de trucs... Non ?

[CC_]

Hello,
Oui mais il me semble qu'il y a un problème. "g(n) tend vers 0" ne me semble pas logiquement équivalent à "g(t) tend vers 0" : on a une suite d'un côté, une fonction de l'autre.
On peut par exemple supposer dans ce type de cas que g(n) = 0 pour tout naturel n, mais qu'entre deux naturels, la fonction remonte toujours en y=2, ou ce genre de trucs... Non ?

[alavacommejetepousse]

heu

quelle version du théorème de convergence dominée a s tu ?

lf(x,t) l < f(x) avec f intégrable et f(x,t) -> g(x) qd t->t0 en est une naturelle

[CC_]

Ma version dit :
- si la suite de fonctions converge vers presque partout,
- si où g est intégrable,
alors, et donc .

Dans la tienne, peut être égal à l'infini sans problème ?
De plus, ta version paraît plus être un mix bizarre entre la convergence dominée et le passage à la limite dans les intégrales...

[alavacommejetepousse]

oui

ta version séquentielle permet de montrer "ma version" non séquentielle

pour TOUTE suite tn de limite t0 = +infini

poser

fn(x) = f(tn,x)

[CC_]

Moui, d'accord, effectivement... Ca ne se devinait pas tout de suite en tout cas ;-)
Merci, bonne soirée et à bientôt !

[Dyo]

pour TOUTE suite tn de limite t0 = +infini

Je doute sur ça car là tu as choisi une suite .

Je pense que pour correctement rédiger, il faut considérer au début un suite quelconque qui tend vers . Tu poses alors et tu peux appliquer la convergence dominée de L.

[alavacommejetepousse]

Je doute sur ça car là tu as choisi une suite .

Je pense que pour correctement rédiger, il faut considérer au début un suite quelconque qui tend vers . Tu poses alors et tu peux appliquer la convergence dominée de L.

n'est ce pas exactement ce que j'ai écrit ?

[Dyo]

n'est ce pas exactement ce que j'ai écrit ?

Exact ^^

Désolé ... je lis un peu trop vite :mur: