[mpsi] Limite

[Anonyme]

Bonjour,

j'aurais besoin d'un eptit coup de main sur cet exo. On part de f une
fonction croissante de R+ dans R*+ telle que f(2x)/f(x) tend vers 1 en
+oo. J'ai réussi à montrer que quelque soit c > 0, f(c*x)/f(x) tend vers
1 en +oo.

La question qui suit est : montrer que ln(f(x))/ln(x) tend vers 0 en
+oo. C'est là que je coince...
J'ai essayé de raisonner par l'absurde en cherchant une contradiction
avec le résultat précedant, mais je n'y arrive pas.. Bon j'ai bien vu
aussi la transformation que l'on peut réaliser pour se ramener à f(x) ln(x)*epsilon, puis il existe un c
>1 tel que ln(f(cx)) > ln(cx)*epsilon, et de conclure avec ma première
limite (ln(c)*epsilon >0). Le problème, comme vous avez du le remarquer,
est le sens de ma première inégalité

Si possible ne me donnez pas la solution, mais seulement une piste pour
me permettre de finir.

Merci d'avance


--
albert

[Anonyme]

albert junior wrote:
> Si possible ne me donnez pas la solution, mais seulement une piste pour
> me permettre de finir.

Pour voir les choses, il est peut-être plus simple de poser
g(x) = ln(f(x)). Tu as alors g(2x)-g(x) -> 0. Choisis x_0 tel que
|g(2x)-g(x)| x_0. Alors en itérant, tu obtiens :
|g(2^n x_0) - g(x_0)| < n*eps
et là normalement la conclusion n'est plus très loin.

[Anonyme]

albert junior wrote:

> Bonjour,
>
> j'aurais besoin d'un eptit coup de main sur cet exo. On part de f une
> fonction croissante de R+ dans R*+ telle que f(2x)/f(x) tend vers 1 en
> +oo. J'ai réussi à montrer que quelque soit c > 0, f(c*x)/f(x) tend vers
> 1 en +oo.

Si on pose g=ln°f, g verifie, je crois, g(2x)-g(x) tend vers 0 en +oo. En
sommant un certain nombre d'inegalites construites avec cette hypothese en
des x/2^k, on va retrouver un truc du genre k par lequel on pourra diviser,
et montrer que g(x)/ln(x) tend vers 0.

J'ai une demo si tu veux, mais elle ne me parait plus aussi pedagogiquement
interessante maintenant que je l'ai relue.

Ca procede beaucoup par analogie avec l'exo classique : f(x+1)-f(x) tend
vers l, alors f(x)/x tend aussi vers l.

> Si possible ne me donnez pas la solution, mais seulement une piste pour
> me permettre de finir.

A ton service. J'ai vraiment essaye d'etre le moins clair possible !

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

Nicolas FRANCOIS a écrit:

>
> Si on pose g=ln°f, g verifie, je crois, g(2x)-g(x) tend vers 0 en +oo. En
> sommant un certain nombre d'inegalites construites avec cette hypothese en
> des x/2^k, on va retrouver un truc du genre k par lequel on pourra diviser,
> et montrer que g(x)/ln(x) tend vers 0.

Je suis parfaitement jusque là (c'est la même chose que la démo de
Xavier). C'est après que je ne vois pas ... comment on passe de la
majoration de g(2^n x) - g(x) par n*epsilon pour arriver au résultat.
C'est sans doute tout bête, mais je vois pas :s

> Ca procede beaucoup par analogie avec l'exo classique : f(x+1)-f(x) tend
> vers l, alors f(x)/x tend aussi vers l.

Je ne connaissais pas, je regarderai ca demain. Enfin je crois très bien
voir l'analogie, donc si je comprends la démo précédente ca devrait être
limpide

> A ton service. J'ai vraiment essaye d'etre le moins clair possible !

Merci beaucoup à toi ainsi qu'à Xavier.

--
albert

[Anonyme]

albert junior wrote:
> Je suis parfaitement jusque là (c'est la même chose que la démo de
> Xavier). C'est après que je ne vois pas ... comment on passe de la
> majoration de g(2^n x) - g(x) par n*epsilon pour arriver au résultat.
> C'est sans doute tout bête, mais je vois pas :s

Déjà, tu appliques ta majoration pour x = x_0, obtenant donc, puisque
g est croissante :
g(2^n x_0) - g(x_0) 1, hein. Donc :
g(x) <= g(x_0) + ln(x)/ln(2)*eps
Mais g(x_0) est une constante est donc sera, au bout d'un moment,
plus petit que ln(x)*eps. Et à ce moment, tu auras :
g(x) <= 2*eps*ln(x)
Voili, voilou. Je te laisse faire attention au fait que n est forcément
entier dans ce qui précède et donc l'inégalité précédente n'est pas
vraie pour tout x... on s'en sort avec la croissance de g. Je te laisse
aussi faire attention au signe de g, qui n'est pas un véritable problème
mais qu'il est bon de signaler.

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit:

> Déjà, tu appliques ta majoration pour x = x_0, obtenant donc, puisque
> g est croissante :
> g(2^n x_0) - g(x_0) Tu poses ensuite x = 2^n x_0 de sorte que n = log_2(x/x_0) car tu peux supposer x_0 > 1, hein. Donc :
> g(x) Mais g(x_0) est une constante est donc sera, au bout d'un moment,
> plus petit que ln(x)*eps. Et à ce moment, tu auras :
> g(x) Voili, voilou. Je te laisse faire attention au fait que n est forcément
> entier dans ce qui précède et donc l'inégalité précédente n'est pas
> vraie pour tout x... on s'en sort avec la croissance de g. Je te laisse
> aussi faire attention au signe de g, qui n'est pas un véritable problème
> mais qu'il est bon de signaler.


Ok c'est bon ! Je n'avais pas pensé au changement de variable pour se
débarasser du n, mais avec ca c'est beaucoup plus clair
Merci bien

--
albert

[Anonyme]

[TEX]\frac{1}{rasin_x^2}[\tex]

[Anonyme]

[tex]\frac{e}{n}\le\x^2[\tex]

[Anonyme]

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