Limite MPSI

[Anonyme]

bonjour je sollicite votre aide pour le calcul de la limite suivante

lim (chx)^(shx)-(shx)^(chx) en x=+°°

je me doute bien que cela sera moins l'inifini car l'exposant chx devrait
l'emporter sur shx mais je ne parviens pas à le démontrer
un petit coup de main ne serait pas de refus en effet j'ai essayer de faire
un DL en posant classiquement x=1/h mais je n'aboutis à rien d'intéressant
pourtant cette limite me semble de facture plutot classique donc je sui peut
etre passé a coté de quelque chose d'évident.. Je ne sais pas donc merci de
votre aide

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
4225d0f4$0$25023$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> bonjour je sollicite votre aide pour le calcul de la limite suivante
>
> lim (chx)^(shx)-(shx)^(chx) en x=+°°
>
> je me doute bien que cela sera moins l'inifini car l'exposant chx devrait
> l'emporter sur shx mais je ne parviens pas à le démontrer
> un petit coup de main ne serait pas de refus en effet j'ai essayer de
faire
> un DL en posant classiquement x=1/h mais je n'aboutis à rien d'intéressant
> pourtant cette limite me semble de facture plutot classique donc je sui
peut
> etre passé a coté de quelque chose d'évident.. Je ne sais pas donc merci
de
> votre aide

(chx)^sh(x) = exp(ch(x)*ln(sh(x))
=exp(ch(x)*ln([e^x+e^(-x)]/2]
tu factorises le terme dominant dans l'exponentiel (en +oo, e^x s'impose sur
e^(-x) et en -oo, c'est le contraire)

donc
ln([e^x - e^(-x)]/2] = ln[e^x(1+e^(-2x))/2]
= x + ln[(1+e^(-2x)/2]
= x + e^(-2x)/2 + o(e^(-2x))

tu multiplies par ch(x) donc
(chx)^(shx) = exp( x*ch(x) + e^(-2x)*ch(x)/2 + o((ch(x)*e^(-2x)))
puisque ch(x)exp(-2x) = e^(-x)/2 +o(e^(-x)) tu as
(chx)^(shx) = exp(x*e^x/2 + x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + o((e^(-x)))
= exp(x*e^x/2) * exp(x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + o((e^(-x)))
Puisque
x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + o((e^(-x))) -->0 en +oo,
tu obtiens que
exp(x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + o((e^(-x)))
= 1 + x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + x^2*exp(-2x)/4 + o(x^2*e^(-2x)))

je te laisse poursuivre (tu obtient ainsi un développement asymptotique de
(chx)^(shx)-(shx)^(chx) puis un équivalent et donc la limite)

********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************

[Anonyme]

"masterbech" a écrit dans le message de news:
4225e893$0$31868$636a15ce@news.free.fr...
> "Gauss" a écrit dans le message de news:
> 4225d0f4$0$25023$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> bonjour je sollicite votre aide pour le calcul de la limite suivante
>>
>> lim (chx)^(shx)-(shx)^(chx) en x=+°°
>>
>> je me doute bien que cela sera moins l'inifini car l'exposant chx devrait
>> l'emporter sur shx mais je ne parviens pas à le démontrer
>> un petit coup de main ne serait pas de refus en effet j'ai essayer de
> faire
>> un DL en posant classiquement x=1/h mais je n'aboutis à rien
>> d'intéressant
>> pourtant cette limite me semble de facture plutot classique donc je sui
> peut
>> etre passé a coté de quelque chose d'évident.. Je ne sais pas donc merci
> de
>> votre aide
>
> (chx)^sh(x) = exp(ch(x)*ln(sh(x))
> =exp(ch(x)*ln([e^x+e^(-x)]/2]
> tu factorises le terme dominant dans l'exponentiel (en +oo, e^x s'impose
> sur
> e^(-x) et en -oo, c'est le contraire)
>
> donc
> ln([e^x - e^(-x)]/2] = ln[e^x(1+e^(-2x))/2]
> = x + ln[(1+e^(-2x)/2]
> = x + e^(-2x)/2 + o(e^(-2x))
>
> tu multiplies par ch(x) donc
> (chx)^(shx) = exp( x*ch(x) + e^(-2x)*ch(x)/2 + o((ch(x)*e^(-2x)))
> puisque ch(x)exp(-2x) = e^(-x)/2 +o(e^(-x)) tu as
> (chx)^(shx) = exp(x*e^x/2 + x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + o((e^(-x)))
> = exp(x*e^x/2) * exp(x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + o((e^(-x)))
> Puisque
> x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + o((e^(-x))) -->0 en +oo,
> tu obtiens que
> exp(x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + o((e^(-x)))
> = 1 + x*exp(-x)/2 + e^(-x)/2 + x^2*exp(-2x)/4 + o(x^2*e^(-2x)))
>
> je te laisse poursuivre (tu obtient ainsi un développement asymptotique de
> (chx)^(shx)-(shx)^(chx) puis un équivalent et donc la limite)
>
> ********************
> http://www.mathematiques.fr.st
> *******************
>
>merci pour cette aide précieuse , je crois que mon erreur aura été d'avoir
>peur de me lancer dans les gros calculs[/color]