Les groupes

[HOusse]

Bonjour,
J'étudie en ce moment les groupes. Une des propriété que j'ai vu en cours dit pour tout x appartenant à E,
pour tout y appartenant à E,
(x*y)^-1 = y^-1 * x^-1


Mon chargé de TD m'a expliqué que:
(x*y)^-1 est différent de x^-1 * y^-1

Aprés avoir essayé de faire quelques exercices, je me rend compte qu'en algèbre, on travaille avec de nouvelle lois, autres que les lois usuelles dont nous avons l'habitude (par exemple l'addition ou la multiplication) et que par conséquent, il faut s'efforcer d'oublier ces lois que l'on connais depuis la primaire et apprendre en manipuler des lois avec de nouvelles caractéristiques. Mais malgré tout je ne comprends pas pourquoi: (x*y)^-1 est différent de x^-1 * y^-1
car pour moi, (x^-1)(y^-1) = (y^-1)(x^-1).

Je me doute bien que cette question est un peu bête mais j'en ai besoin pour pouvoir avancer et mieux comprendre le reste.

Quelqu'un pour m'aider ?

[MacManus]

Bonjour

On a
Donc (ici 1= : élément neutre de E pour la multiplication)

[MacManus]

On peut remarquer que : ab=1 implique b= (en mutipliant à gauche par ) En résumant ce que j'ai fais au post précédent

[HOusse]

Merci pour ta réponse MacManus.
D'abord une petite parenthèse, comment fais-tu pour écrire les indices et les puissances ?

Je sais que:
(x*y) *(y^(-1)*x^(-1)) = e = (y^(-1)*x^(-1)) * (x*y)
(e étant l'élèment neutre de E)

Mais pourquoi on ne eut pas écrire:
(x*y) *(y^(-1)*x^(-1)) = (x*y) *(x^(-1)*y^(-1))

[Nightmare]

Salut,

Ton groupe n'a aucune raison d'être abélien!

[MacManus]

Merci pour ta réponse MacManus.
D'abord une petite parenthèse, comment fais-tu pour écrire les indices et les puissances ?

Je t'ai envoyé un message en privé.

Je sais que:
(x*y) *(y^(-1)*x^(-1)) = e = (y^(-1)*x^(-1)) * (x*y)
(e étant l'élèment neutre de E)

Oui, pour tout élément x de E (groupe), il existe x' élément de E tel que xx'=x'x=e

Mais pourquoi on ne eut pas écrire:
(x*y) *(y^(-1)*x^(-1)) = (x*y) *(x^(-1)*y^(-1))

Car si tu écris comme celà (d'une manière générale) : xy=yx , tu supposes que ton groupe E est commutatif (on dit aussi abélien), or on ne précise pas ici que E est un groupe commutatif. (J'espère ne pas dire de bêtises...)

[HOusse]

Donc si j'ai bien compris je ne peux pas écrire:

(x*y) * ( * ) = (x * y * * )
= (x * * y * )
= ...

car la loi n'est pas commutative. Et d'un point de vu général, si j'ai par exemple:

a * b * c * d = e * f * g * h

je ne peux commuter deux élément que ce soit à gauche ou à droite du signe "=". Par exemple, je ne peux écrire:

a * b * c * d = e * f * g * h
a * b * c * d = e * g * f * h

C'est bien ça ?

[MacManus]

Voilà c'est ça

[HOusse]

Bon, je pense avoir, cela va me permettre de mieux évoluer dans le monde des structures algébriques Donc merci à tous les deux.

Par contre j'aurai une autre question.
Prenons un loi quelconque * définie de la sorte:

a * b = a x b x b

Donc on a affaire à une loi * qui utilise, dans son expression, la loi x (multiplication) que nous connaissons tous. La multiplication est une loi commutative, donc est-ce que j'ai le droit d'écrire:

a * b = a x b x b = b x a x b = b x b x a

[Nightmare]

Comme tu l'as dit, la loi x est commutative, pourquoi n'aurais-tu donc pas le droit d'écrire ce que tu as écrit?

[HOusse]

Pardon j'ai oublié de dire que * n'est pas commutative.
Donc malgré que * ne soit pas commutative, j'ai le droit de faire ça ?

[HOusse]

Ok d'accord je comprend mieux, merci pour votre aide ;)