N lancers de dés à 6 faces

[Playmaths]

Salut à tous, désolé pour l'absence de présentation, j'ai un partiel de probas demain et je bute sur un petit exo

Jojo lance et relance un dé à six faces sans s'arrêter. Définir l'espace probabilisé qui permet de modéliser cette expérience. Calculer proprement la probabilité des événements suivants :
- A- « ]ojo n'obtient que des six»;
- B - « À partir d'un certain moment, Jojo n'obtient que des six » ;
- C - « Jojo obtient au moins un six » ;
- D - « Jojo obtient une infinité de six ».

L'univers je pense que c'est {Xi tq pour tout i dans [1,n], Xi appartient à {1,2,3,4,5,6}}, soit aussi {1,2,3,4,5,6}^n ?

A = inter (i=1,n) {Xi=6} donc p(A) = 1/6^n
B = union (i=1,n) inter (k=i,n) {Xi=6} donc p(B) = [somme (k=1,n-1) 6^k]/[produit (k=1,n) 6^k] en mettant sur le même dénominateur
C barre = inter (i=1,n) {Xi=/=6} donc p(C) = 1-(5/6)^n
D = et là je sais pas du tout...

En faisant tendre n vers l'infini ça nous donne donc p(A)=0, p(B)=0 mais moins vite que A, p(C)=1

Je pense que p(D)=1 en faisant tendre n vers l'infini, mais j'arrive pas à voir le truc.

Help please, merci d'avance !

[Playmaths]

Ah j'ai peut-être trouvé, ça serait du Borel-Cantelli.

Soit (Di) = {Xi=6} pour tout i dans [1,n].
Soit D = limsup sur i des Di ie = {une infinité de Di se réalise}

Lemme de Borel-Cantelli : si les Di sont indépendants et que somme (i=1,n) P(Di) = +l'inf, alors P(D) = 1

ici, P(Di) = 1/6, et somme des 1/6 = n/6 -> + l'infini.

CQFD, quelqu'un peut me confirmer?

[nodgim]

Pour D c'est 1. La contraposée, ce serait Jojo n'obtient qu'un nombre fini de 6. Donc après le dernier, la proba est C, qui tend vers 0 quand n tend vers oo.