Densité de proba (X<100), N (30) lancers de dés à 7 faces

[Tommy1228]

Bonjour !

Je ne suis plus vraiment étudiant et c'est bien le problème. On perd certains réflexes intellectuels ...

Bref, j'ai un micro-événement qui correspond à un lancer de dé à 7 faces (valeurs entières choisies entre 1 et 7).
Mon événement consiste à répéter ce micro-événement un certain nombre de fois, jusqu'à atteindre un total de 100.
A priori, il m'est facile de répéter le micro-événement 30 fois (+ que 30, ça deviendrait vraiment compliqué).

Je vais ensuite répéter cet événement un nombre très important de fois (plusieurs centaines, voire milliers).
Ce que je recherche, en gros, c'est la probabilité qu'en répétant 30 fois ce lancer de dé à 7 face, j'obtienne au moins 100.

Si la probabilité est faible, ça me fait un taux d'échec faible, donc ça me va. Si elle est trop élevée à mon goût, j'envisagerais d'augmenter N (mais c'est assez relou).

Si des petits génies peuvent me guider un peu, voire m'indiquer s'il y a une méthode assez standard pour faire "glisser" le résultat en fonction de N (je le calculerais aussi pour 40 si le résultat est trop insatisfaisant à 30, là je suppose qu'il y aura pas de soucis ...).

Ca serait super sympa !

Merci par avance de toute réponse qui peut m'aider. C'est toujours un plaisir de replonger dans les maths !

(Je suis tellement largué que je suis pas tout à fait sûr que ça a sa place ici dans supérieur, enfin je crois quand même )

[GaBuZoMeu]

Ce qui t"intéresse c'est la somme où les sont des variables aléatoires indépendantes correspondant au lancer de dé à 7 faces, d'espérance 4 et de variance 4.
Le théorème central limite dit que suit à peu près, pour suffisamment grand, une loi normale d'espérance et de variance , c.-à-d. que suit à peu près la loi normale centrée réduite.
La probabilité que est donc à peu près donnée par , où est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Pour , on trouve dans une table .

[Tommy1228]

O.K., merci beaucoup !

n=30 c'est suffisant pour avoir une approximation pertinente ?

Avec n=40, en suivant la même méthodologie, j'aurais genre 1 chance sur 500 000 d'avoir Sn <100, du coup je peux croiser les doigts et simplifier mon process en ne mettant aucun système de vérification/correction d'erreur (oui, c'est mal).

Mais à ce niveau là, est-ce que l'approximation reste encore très fiable ?

[GaBuZoMeu]

Je ne suis pas praticien, donc je ne peux pas t'affirmer que l'approximation est excellente, mais je pense que pour n=30 ce n'est pas trop mauvais (et plus n est grand, mieux ça sera).
Il semble que pour l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale, n=30 soit considéré comme acceptable. Bon, ici ce n'est pas une loi binomiale, m'enfin ...
Pour confirmation, tu peux toujours faire une petite simulation. Moi, là, je n'en ai pas le temps.

[lyceen95]

L'approximation est excellente. (Et c'est ce qu'on dit généralement, à partir de 30, il faut appliquer les formules générales)
Si on dessine l'arbre, avec 30 lancers, et qu'on calcule la probabilité de chacune des valeurs (ce qu'on ferait pour un petit nombre de lancers), on trouve que la probabilité d'avoir un résultat strictement inférieur à 100 est de 3.05%, et que la probabilité d'avoir un résultat inférieur ou égal à 100 est de 3.74%.

Pour 40 lancers, si je ne me suis pas trompé en comptant tous les zéros , la probabilité d'avoir moins de 100 est de 1 sur 2 millions.

[Tommy1228]

Merci pour ces précisions !

[fatal_error]

bj,

pour info monte carlo confirme
https://repl.it/repls/InbornOfficialReentrant

j'ajoute également avec le dénombrement:
https://repl.it/repls/SquigglyVibrantStructures
p < S 3.0485379874959433
p <= S 3.7435989815607464

ce qui donne une erreur plutot petite du TCL!

[GaBuZoMeu]

Allez, j'y vais aussi de mon code pour calculer les probabilités exactes, sans utiliser l'approximation donnée par le théorème central limite.
Je l'ai écrit en python 3 :

Code: Tout sélectionner

# étendre une liste par des zéros
def etend(L,i) :
    if i in range (len(L)) : return L[i]
    else : return 0

# modification de la liste de répartition des sommes
# par ajout d'un tirage
def ajout(L) :
    S=[] ; l=len(L)+6
    for k in range(l) :
        nb=sum(etend(L,k-i) for i in range(7))
        S.append(nb)
    return S

# répartition après n tiragess
def repart(n) :
    L=[1]
    for i in range(n) : L=ajout(L)
    return L

# proba que la somme de n tirages soit < s
def proba(n,s) :
    L=repart(n)
    nb=sum(L[i] for i in range(s-n))
    return nb/7**n

Avec ça, je peux poser des questions comme

Code: Tout sélectionner

print ("proba d'une somme <100 en 30 tirages :",proba(30,100))
print ("proba d'une somme <=100 en 30 tirages :",proba(30,101))
print ("proba d'une somme <100 en 40 tirages :",proba(40,100))

qui donnent les réponses :
proba d'une somme <100 en 30 tirages : 0.03048537987496217
proba d'une somme <=100 en 30 tirages : 0.03743598981561115
proba d'une somme <100 en 40 tirages : 4.2221285711413833e-07

ou encore la question

Code: Tout sélectionner

n=30
while proba(n,100)>=10**(-3) : n+=1
n
print("plus petit nombre de tirages pour que la probabilité\n de somme <100 soit inférieure à 1 pour 1000 :", n)

qui donne la réponse :
plus petit nombre de tirages pour que la probabilité
de somme <100 soit inférieure à 1 pour 1000 : 34


PS. On remarquera que mes dernières décimales diffèrent de celles de fatal_error. En fait, les bonnes ce sont les miennes, bien sûr !
Le résultat exact pour la probabilité d'avoir une somme < 100 en 30 tirages est le rationnel

Je m'attends à la ritournelle habituelle ici .

[GaBuZoMeu]

Un grand comique (involontaire) qui suit assidûment maths-forum prétend ici que le nombre minimal de tirages pour avoir une probabilité de somme < 100 inférieure ou égale à 1 pour mille est 32 (sans dire bien sûr comment il trouve ce 32). C'est bien sûr faux :

Code: Tout sélectionner

print ("proba d'une somme <100 en 32 tirages :",proba(32,100))
print ("proba d'une somme <100 en 33 tirages :",proba(33,100))
print ("proba d'une somme <100 en 34 tirages :",proba(34,100))

donne :
proba d'une somme <100 en 32 tirages : 0.005635032691961159
proba d'une somme <100 en 33 tirages : 0.0021641162687532503
proba d'une somme <100 en 34 tirages : 0.0007741071508906421

J'ai donné plus haut le code en python qui permet de calculer ces résultats. Il est basé sur un calcul par récurrence du nombre de suites de n tirages aboutissant à une somme égale à :

avec bien sûr la condition initiale et pour .
On reconnaît la partie importante de la définition de la fonction "ajout" dans le code python.

[Sylviel]

J'essaye d'éviter d'aller voir ce que l'huluberlu en question continuer de radoter... Mais il faut quand même réaliser qu'après dix ans et je ne sais combien de pages d'explications (avec preuves, simulations, références, exemples...) il ne sait toujours pas ce qu'est une variable aléatoire ou ce que signifie le TCL (il prétends même que son énoncé n'est pas clairement donné).

Bref, a toutes fins (in)utile j'ai légèrement modifié le code de Fatal Error pour confirmer par la simulation ton calcul exact https://repl.it/repls/PolishedCyanDatum (c'est généralement un bon "sanity check").

Sinon pour revenir à la question initiale :
- en première approche le TCL te donneras de bons résultats pour N de l'ordre de quelques dizaines si la variance (ou plutôt la Kurtosis) n'est pas trop élevée
- les résultats seront d'autant plus précis que l'on s'intéresse au "centre" de la distribution (estimation de quantiles entre 10% et 90% par exemple)
- ils seront moins précis près de la queue de la distribution (il existe toute une théorie des "larges déviations" qui adresse plus précisément ce sujet)
- pour savoir si l'approximation est suffisante il faut te demander :
--> quelle précision veux-tu ?
--> est-ce que le niveau de proba n'est pas trop bas ?
- aujourd'hui, pour des variables discrètes de petit support et des sommes pas trop grandes le calcul exact n'est pas très couteux (cf le code de GBZM par exemple).

Au vu de ce que tu nous as présenté je dirais que l'approx du TCL est suffisant pour ce que tu veux : "avoir une idée grossière du résultat de la somme d'environ 30 variable uniforme sur [[1,7]]".

P.S: je ne départage pas le calcul exact de GBZM vs celui de Fatal les deux sont cohérents avec les résultats numériques (et montre bien que le "32" est faux...).