Isomorphisme.

par **sandrine_guillerme** » 30 Sep 2007, 12:24

Bonjour à tous,

J'ai une petite question et je fais appel à vous ...
Soit

et

un ensemble de 3 points formant un triangle équilatéral .

Soit

l'ensemble des isométries g du plan telles que

.

Question : Montrer que

est isomorphe à

J'avoue que je ne suis pas très inspirée ..

Merci d'avance de votre aide !

par **sandrine_guillerme** » 02 Oct 2007, 17:31

Bonjour,

je me permets de faire un petit Up :lol2:

par **Flodelarab** » 02 Oct 2007, 17:35

sandrine_guillerme a écrit:Bonjour,

je me permets de faire un petit Up :lol2:

Pardon de la question bête, mais, comment définis tu G3 ? Un groupe de 3 éléments ?

par **fahr451** » 02 Oct 2007, 19:05

bonsoir tu as déterminé les isométries?

par **akos** » 02 Oct 2007, 19:08

les isométries du plan sont de deux sortes :
- les translations et les rotations
- les symétries ( dont les symétries glissée : composé d'une translation et d'une symétrie axiale )

la condition d'inclusion

doit impliquer que seul les rotations et les symétries (non glissé) peuvent convenir. (une translation, ou bien un de ses itérés, ferait "sortir le triangle de lui même")

ensuite je montrerai que en fait

par un argument d'isométrie (conservation de la longueur, des angles ...) et donc : chaque sommet est envoyé sur un sommet.

reste à chercher les rotations et les symétries qui laisse invariant les sommets du triangle équilatéral ...

par **fahr451** » 02 Oct 2007, 19:12

l'isobarycentre est fixe

par **Flodelarab** » 02 Oct 2007, 19:57

G de Delta est une permutation de sommets.

par **sandrine_guillerme** » 03 Oct 2007, 14:04

Bonjour à tous ! :we:
et merci pour vos réponses !

akos a écrit:reste à chercher les rotations et les symétries qui laisse invariant les sommets du triangle équilatéral ...

oui et je ne pense pas que ça doit être dur à trouver ..

@fahr : Oui ? ça résume un peu tout, mais comment pourrait on s'en servir, j'ai pas trop vu l'utilité !

@flodelarab : oui, exactement ! désolée si je n'ai pu répondre plutôt !

Si vous avez des remarques n'hésitez pas ! :we:

Merci :happy3:

par **yos** » 03 Oct 2007, 14:19

Bonjour.
Tu sais qu'une isométrie est déterminée par l'image de trois points non alignés donc il y en a au plus une par permutation de {A,B,C}.
D'autre part il y en a au moins une par permutation de {A,B,C} : il suffit de l'exhiber.

par **sandrine_guillerme** » 03 Oct 2007, 15:29

Oui, Je vais réfléchir à ça ...

merci en tout cas !

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