Isomorphisme

[gaia38]

Bonjour,
Je dois trouver les groupes d'ordre 4 a un isomorphisme près,
Jai donc construit deux table avec e,a,b,c comme element de l'ensemble, je prend a son propre inverse.
Pour la premiere table c est l'inverse de b
Pour la deuxieme c et b sont leurs propres inverses.

Jusque la tt vas bien mais je me pose un question, selon l'enoncé, les deux groupes sont isomorphes mais comment peut-on trouver cet isomorphisme?

Merci d'avance

[Kolis]

Bonjour,
Je dois trouver les groupes d'ordre 4 a un isomorphisme près,
Jai donc construit deux table avec e,a,b,c comme element de l'ensemble, je prend a son propre inverse.
Pour la premiere table c est l'inverse de b
Pour la deuxieme c et b sont leurs propres inverses.

Jusque la tt vas bien mais je me pose un question, selon l'enoncé, les deux groupes sont isomorphes mais comment peut-on trouver cet isomorphisme?

Merci d'avance

On ne te dit pas que les groupes sont isomorphes. On te demande de donner une liste dans laquelle les éléments ne sont PAS des groupes isomorphes.

[aymanemaysae]

Un groupe d'ordre 4 est soit isomorphe à Z/4Z s'il est cyclique, soit à Z/2Z x Z/2Z s'il est non cyclique.
A vous de démontrer çà.

[Ben314]

Salut,

... je prend a son propre inverse.

Pourquoi ?

As tu vu ce qu'es "l'ordre d'un élément" et quelle propriété il a par rapport au cardinal du groupe (d'ailleurs lui aussi appelé "ordre du groupe") ?

Si oui, ça simplifie très grandement le problème (si non, on peut s'en sortir en tatonant un tout petit peu...)

@aymanemaysae : évite de donner les réponses, surtout sans indications. La logique du forum a mon sens serait plutôt le contraire, c'est à dire donner des indications mais pas la réponse.

[gaia38]

Nan jai rien vu de tout ça,
pour ce qui est de a son propre inverse il faut bien qu'il y en ait un des trois qui le soit donc je prend a comme jaurais pu prendre b ou c.

Et je sais que la consigne n'était pas de trouver les deux isomorphismes mais moi je voulait aller plus loin et trouver cet isomorphisme ou alors demontrer que mes deux groupes étaient bien isomorphes.

Car il en a bien seulement deux possible?

[Pseuda]

Nan jai rien vu de tout ça,
pour ce qui est de a son propre inverse il faut bien qu'il y en ait un des trois qui le soit donc je prend a comme jaurais pu prendre b ou c.

Et je sais que la consigne n'était pas de trouver les deux isomorphismes mais moi je voulait aller plus loin et trouver cet isomorphisme ou alors demontrer que mes deux groupes étaient bien isomorphes.

Car il en a bien seulement deux possible?

Oui, il y en a bien que deux possibles. Il faut procéder par hypothèses, et on se retrouve à moment donné devant 2 choix possibles. Ces 2 groupes ne sont, bien entendu, pas isomorphes, mais tous les groupes d'ordre 4 sont isomorphes à l'un des 2.

[gaia38]

d'accord!
et du coup si on veut trouver un autre groupe d'ordre 4 isomorphe a l'un des deux il suffit de définir une application qui a chaque élément en associe un autre si jai bien compris.

[Ben314]

pour ce qui est de a son propre inverse il faut bien qu'il y en ait un des trois qui le soit donc je prend a comme jaurais pu prendre b ou c.

Pourquoi ?

[Pseuda]

d'accord!
et du coup si on veut trouver un autre groupe d'ordre 4 isomorphe a l'un des deux il suffit de définir une application qui a chaque élément en associe un autre si jai bien compris.

Tout à fait. Trouve des exemples de groupes d'ordre 4 et interroge-toi sur lequel des 2 groupes il se rattache (autrement dit, auquel il est isomorphe) : Z/4Z muni de l'addition, Z/5Z-{0} muni de la multiplication, groupe des rotations vectorielles engendré par la rotation d'angle pi/2, etc... Il faut définir une application qui rattache chaque élément du groupe aux éléments e,a,b,c.

[gaia38]

Pourquoi ?

Parce qu'il ne peuvent tout les trois être leur propre inverse (ou alors on perd l associativité) et que e ne peut pas etre leur inverse. De plus s'il n'ont pas d'inverse bah c ps un groupe

[Ben314]

Parce qu'il ne peuvent tout les trois être leur propre inverse (ou alors on perd l associativité) et que e ne peut pas etre leur inverse. De plus s'il n'ont pas d'inverse bah c ps un groupe

Pas très clair ton raisonnement :
- Déjà, ils peuvent parfaitement être tout les 4 leur propre inverse, et c'est d'ailleurs le cas d'un des deux groupes que tu va trouver.
- Ce que tu affirmait, c'était qu'il y en avait au moins un (que tu as appelé a) qui était son propre inverse. Donc même si c'était vrai qu'il ne peuvent pas être tout les 3 leur propre inverse, je ne vois pas en quoi ça prouverais qu'il y en a au moins un qui est son propre inverse.

En fait, on peut effectivement montrer que, dans un groupe fini ayant un nombre pair d'éléments, il y a forcément un élément autre que le neutre e qui est son propre inverse. Mais pourquoi ?