Inversion d'une matrice

[Dante0]

Bonjour !

J'aimerais savoir comment inverser une matrice, prenons l'exemple de :
3 1
2 1

C'est une matrice plus simple, mais en cherchant je trouve plusieurs résultats donc je suis confus. :triste:

On peut utiliser le fait que mais je ne sais pas comment obtenir l'adjoint de la matrice. :/
Il me semble qu'il y'a aussi une autre technique mais qui marche uniquement pour les matrices 2x2 non ?

Merci ! =)

[C.Ret]

Bonjour,

Pour une matrice 2x2, l'inversion ne pose pas de problème. On peut la calculer directement.

On dit que A est inversible, s'il existe une matrice B telle que AB = Idt (où Idt désigne la matrice identité.

Dans notre exmple et

Appelons a,b,c et d les éléments de la matrice B inverse de la matrice A.



Calculons A.B ...

A.B = ...

[Dante0]

Bonjour,

Pour une matrice 2x2, l'inversion ne pose pas de problème. On peut la calculer directement.

On dit que A est inversible, s'il existe une matrice B telle que AB = Idt (où Idt désigne la matrice identité.

Dans notre exmple et

Appelons a,b,c et d les éléments de la matrice B inverse de la matrice A.



Calculons A.B ...

A.B = ...

[C.Ret]

Oui, il suffit maintenant d'identifier chaque élément de cette matrice aux valeurs dans la matrice Idt

On obtient le système :


Que l'on résoud.

[lionel52]

C.Ret dsl mais votre méthode n'est pas des plus efficaces. On se retrouve avec un système de 4 équation à 4 inconnues. En dimension 2 ça va mais en dimension 3...

Une méthode est de résoudre le système : AX = (a,b) où a et b sont des réels fixés et X = (x,y)

ça donne

3x + y = a
2x + y = b

Donc
x = a - b
y = 3b - 2a

En gros :

X = M^(-1)(a,b) avec
M^(-1) = (1,-1)
* * * * * (3,-2)

[C.Ret]

C.Ret dsl mais votre méthode n'est pas des plus efficaces. On se retrouve avec un système de 4 équation à 4 inconnues. En dimension 2 ça va mais en dimension 3...

Très juste, cette façon de faire ne fonctionne bien que pour les matrices 2x2.

Une méthode est de résoudre le système : AX = (a,b) où a et b sont des réels fixés et X = (x,y)
ça donne
3x + y = a
2x + y = b

Donc
x = a - b
y = 3b - 2a

Jusque là je suis d'accord.

En gros :
X = M^(-1)(a,b) avec
M^(-1) = (1,-1)
* * * * * (3,-2)

Mais là je ne comprends pas d'où sortent ces valeurs ??

En résolvant mon système :


On obtient directement la matrice inverse
en combiannt les équation 2 et 4 on obtien t puis et
en combiannt les équation 1 et 3 on obtient puis et

D'où la matrice inverse :


Cette technique marche à tous les coups, on peut même en déduire une formule générale:

[lionel52]

oui pardon j'ai écrit les variables dans le mauvais sens :

x = a - b
y = -2a + 3b

En gros :

X = M^(-1)(a,b) avec
M^(-1) = (1,-1)
* * * * * (-2,3)


et là c'est mieux ^^

[C.Ret]

oui pardon j'ai écrit les variables dans le mauvais sens :

x = a - b
y = -2a + 3b

En gros :

X = M^(-1)(a,b) avec
M^(-1) = (1,-1)
* * * * * (-2,3)


et là c'est mieux ^^

Oui, merci, C'est impeccable comme méthode.

J'aime bien aussi celle avec le déterminant.

Par exemple si l'on veut inverser


Le déterminant est .

La matrice est donc inversable.
Ce qui permet de tout de suite avoir un résultat propre sans fractions :



P.S.: Je m'aperçois que la méthode de lionel52 fonctionne bien aussi dans ce cas, il suffit juste de mettre 1/8 en facteur au bon moment !

[Dante0]

oui pardon j'ai écrit les variables dans le mauvais sens :

x = a - b
y = -2a + 3b

En gros :

X = M^(-1)(a,b) avec
M^(-1) = (1,-1)
* * * * * (-2,3)


et là c'est mieux ^^

Je comprends pas trop ta méthode, d'ou sort le M ?
Sinon C.ret tu peux expliquer comment tu fais avec le déterminant ?
Je vois pas d'ou vient :