Inverse et rang des matrices:comment calculer

[XENSECP]

Bah oui en gros tu veux qu'on te fasse tout le cours d'algèbre quoi ? ^^

[XENSECP]

Bah perso je comprends pas ce que tu veux précisément :)

[SimonB]

Voilà je voudrais juste savoir comment on calcule l'inverse d'une matrice? est ce qu'il y a une méthode à appliquer pour tout les calculs ou pas? Je vois le principe, donc en fait je résout trois systèmes pour trouver l'inverse d'une matrice à trois lignes et trois colonnes par exemple. y a-t-il une autre méthode?

Dans le cas général (=grand nombre de ligne et de colonnes) c'est assez difficile algorithmiquement.

Sans ça, oui il y a d'autres méthodes, mais si tu ne les as pas vu en cours, pas la peine de te les donner tout de suite !

Ensuite pour le rang, est-ce qu'il suffit de trouver le nombre de lignes ou colonnes nulles? Et donc le rang de la matrice est le nombre de lignes ou colonnes non nulles?

Non. C'est le nombre de colonnes indépendantes linéairement (ce qui doit être défini dans ton cours).

Par exemple, la matrice
1 1 1
1 1 1
1 1 1

n'a aucune colonne ou ligne nulle, mais son rang est 1.

Une dernière petite question, comment fait-on pour montrer que le produit de deux matrices diagonales n*n est une matrice diagonale? je le vois bien en essayant, mais la démonstration.. :s

La définition du produit de deux matrices te le donne (un produit de deux matrices (m,n) et (m',n') n'est valable que si n=m' et alors le produit est de taille (m,n')).

Je te conseille de te replonger dans ton cours... !

[Siouar88]

Alors Alors on va commncer étape par étape pour trouver l'inverse d'une matrice il y a deux méthode une de pivot de gauss et l'autre en utlisant le det de matrice, mais il faut suivre la méthode indiquer par votre prof car j'ai peur de vous indiquer la plus simple mais un peux compliquer de point de vue calcul (la formule transposée de la comatrice divisé par le déterminant) et qu'elle sera refusé par votre prof quand il vient corriger votre copie dans l'examen !!!!
Alors peuvez m'indiquer qu'elle méthode exactement (car d'après ce que tu as dit je crois que votre cours contien seulement la méthode de pivot de gauss)!!

[mAroCaInEE]

L'inverse d'une matrice:
Pour l'inverse d'une matrice il y a surement d'autres méthodes les plus connues sont la méthode que tu as indiqué et elle s'appelle Pivot de Gauss et une autre que peut etre tu vas avoir après et elle s'appelle la formule transposée de la comatrice divisée par le déterminant.
Pour cette dernier elle est un peu simple comme formule mais compliquer de point de vue calcul, car il te faut:
1- Calculer le determinant du matrice.
2- Calculer comatrice de ton matrice. (Voilà dans ce lien tu trouve une explication par un exemple comment le faire http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/chapitre10/partie4/titre1res.htm)
3- Trouver la transposée de comatrice (c'est en rendant les lignes comme colonnes)
4- Finalement deviser transposée de comatrice par le determinant de la matrice initial et voilà tu trouve l'inverse de la matrice.
Comme j'ai dit c'est une méthode un peu simple mais elle est evité à cause des erreurs que l'étudiant peut les commettre dans les calculs.

Rang d'une matrice:
Pour le rang d'une matrice et comme SimonB a dit c'est le nombre des colonnes independantes dans ta matrice alors il faut chercher est ce qu'il n'y a pas une relation qui relie tes colonnes par exemple:

1 2 1
1 2 3
1 2 3
là dans ce cas il est claire que les colonnes 1 et 2 sont reliées par une relation alors on a C2= 2*C1 Donc dans ce cas le rang de ta matrice est de 2.

Le produit d'une matrice:
Finalement pour Le produit de deux matrices alors il est très connue et tu vas le trouver dans n'importe quel cours et même comme la 1er definition dans le produit de deux matrices c'est que le produit de deux matrices par exemple AB n'est défini que lorsque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B et la matrice finale son nombre des colonnes va etre égale à celui de A et lignes égale à celui de B.

[abcd22]

Bonjour,

Pour cette dernier elle est un peu simple comme formule mais compliquer de point de vue calcul, car il te faut:
1- Calculer le determinant du matrice.
2- Calculer comatrice de ton matrice. (Voilà dans ce lien tu trouve une explication par un exemple comment le faire http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/chapitre10/partie4/titre1res.htm)
3- Trouver la transposée de comatrice (c'est en rendant les lignes comme colonnes)
4- Finalement deviser transposée de comatrice par le determinant de la matrice initial et voilà tu trouve l'inverse de la matrice.
Comme j'ai dit c'est une méthode un peu simple mais elle est evité à cause des erreurs que l'étudiant peut les commettre dans les calculs.

Cette méthode n'est pas du tout « simple » (tu dis d'ailleurs toi-même qu'elle est compliquée et à éviter...), elle est très mauvaise algorithmiquement (la complexité est en O(n×n!) alors que la méthode de Gauss est en O(n³)), elle est complètement inutile (et inutilisée) en pratique pour calculer des inverses de matrices sauf pour la dimension 2 (3 à la limite, mais déjà là le pivot de Gauss risque d'être plus rapide) ou des matrices qui ont une forme particulièrement simple. Cette formule est utile principalement sur un plan théorique, par exemple pour montrer que les coefficients de l'inverse d'une matrice sont des fractions rationnelles des coefficients de la matrice, caractériser les matrices de ...