Intervalles de Q

[chombier]

Bonjour,

Je me pose une drôle de question : quels sont les intervalles de Q ?

Parfois je lis (1) que ce sont les intervalles de la forme :
; ; et avec
et avec
et avec

et c'est tout !

Parfois je lis (2) ce que sont les sous-ensembles vérifiant :


Mais ces deux définitions me semblent contradictoires car l'ensemble
est un intervalle au sens de la deuxième définition mais pas au sens de la première !

Cette page en particulier me laisse très perplexe : http://gilles.dubois10.free.fr/Nombres/ ... lles.html#

Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance !

[Mimosa]

Bonjour

Il s'agit de savoir "des intervalles" dans quoi? En général on parle d'un espace muni d'une relation d'ordre. Pour et l'intervalle . En mettant des inégalités strictes à certains endroits on obtient les choses du genre et compagnie.
Si n'est pas borné, on peut aussi parler d'intervalles du genre avec toutes les variantes.

Revenons à . La définition ci-dessus s'applique parfaitement, et bien sur dans ce cas les intervalles sont formés de nombre rationnels.

Il se trouve que . On peut très bien parler d'un intervalle de dont les extrémités sont rationnelles. Et voilà ta deuxième expression! Dans on a pour n'importe quels a ou b, fussent-ils rationnels.

En fait il s'agit de topologie induite sur par celle de , mais ça c'est une autre histoire.

[chombier]

Tu ne réponds pas vraiment à ma question.

vérifie la propriété

Donc soit c'est un intervalle, soit cette propriété n'est pas caractéristique des interalles, il faut choisir.
La page que j'ai donné en lien fait très nettement une erreur.

[GaBuZoMeu]

Non, pas forcément. Le contenu de cette page est bien conforme à ce que le juge de paix Bourbaki définit comme intervalles.
Pour Bourbaki, l'ensemble des rationnels strictement plus grands que n'est pas un intervalle de . Un intervalle doit avoir des extrémités dans l'ensemble ordonné, ou être illimité.

[chombier]

Dans ce cas c'est la caractérisation (en bas de page) qui est fausse.

Merci pour la définition de Bourbaki, en tout cas ça réponds à ma question

[tournesol]

En conclusion , dans un ensemble ordonné , un intervalle est convexe mais la réciproque est fausse .
Les deux notions ne doivent pas être confondues même lorsque la relation d'ordre est totale .

[GaBuZoMeu]

Dans ce cas c'est la caractérisation (en bas de page) qui est fausse.

Oui, tu as raison.

[tournesol]

Merci à vous deux . Grâce à vous j'ai appris quelque chose : si l'ordre n'est pas total , un intervalle peut contenir des éléments non comparables .

[alfred47]

Non, pas forcément. Le contenu de cette page est bien conforme à ce que le juge de paix Bourbaki définit comme intervalles.
Pour Bourbaki, l'ensemble des rationnels strictement plus grands que n'est pas un intervalle de . Un intervalle doit avoir des extrémités dans l'ensemble ordonné, ou être illimité.

merci
J'ai oublié cette partie

[chombier]

J'ai prévenu l'auteur de cette page (http://gilles.dubois10.free.fr/Nombres/ ... alles.html) qu'il y avait une contradiction dans sa page mais il a refusé de l'admettre.

Le problème vient du fait que dans toutes mes définitions les bornes des
intervalles de Q sont des rationnels.

Le contre-exemple que vous donnez est défini au moyen d'une borne réelle
irrationnelle (racine de 2)

Il n'y a donc aucune contradiction.

Cependant la notion d'intervalle a surtout un intérêt pour les nombres
réels.

Etonnant...

[tournesol]

Etymologiquement , un intervalle c'est ce qui est entre deux valeurs ...
On peut aussi se placer dans Q en ignorant R .
Pour moi il y a encore confusion entre convexité et intervalle .

[tournesol]

J'ai enfin trouvé la preuve que Bourbaki ne confond pas l' "intervallité" avec la convexité .
Je n'avais en fait que lu la partie résultats R27 du livre :théorie des ensembles
Mais je viens de lire la partie détaillée E.III.14 paragraphe 13 intervalles .
Il démontre en proposition 13 que dans un ensemble réticulé , l'intersection de deux intervalles est un intervalle .
Or , que(E ,<=) soit réticulé ou pas , l'intersection de deux parties convexes de E est une partie convexe de E .

[tournesol]

Par exemple avec la divisibilité dans N* , {4;6;9} est convexe mais n'est pas un intervalle au sens de Bourbaki .