Interpolation polynomiale

[Rockleader]

Bonjour,

j'aimerais avoir votre avis pour résoudre le problème suivant.

p(x)=x;) -4x³ +5x² -2x

La première question me demande de calculer p(1); p'(1); p''(1)
Bon, on va sauter cette étape, je présume que le but de la question doit être de nous faire trouver une racine "évidente"

La seconde question demande de trouver toutes les réclines de p.

p est de degré 4, on doit donc trouver 4 racines dont peut êtres des racines complexes certes, mais 4 racines tout de même.


Mon problème vient là, pour résoudre cette question, je serais tenter de factoriser sous la forme de deux poly de degré 2 et de faire la recherche sur les 2 polynôme séparément. Sa marche bien, mais seulement voilà, la question suivante me demande de factoriser le polynôme ;)

L'ordre logique de l'exo c'est donc trouver les racines puis factoriser et non pas factoriser pour trouver les racines.


Du coup, j'aurais bien voulu savoir la méthode à adopter ici.

Merci à vous pour votre aide !

[bentaarito]

Je vois pas le lien avec le titre :ptdr:

Sinon, je suggère de faire dans l'ordre logique de l'exo

[Rockleader]

Bah cet exo est dans le chapitre qui porte ce titre =) mis à part ça aucun lien ;)


Donc comment tu fais pour résoudre une équation de degré 4 sans la factoriser ? moi je vois pas comment faire !

[bentaarito]

La première question me demande de calculer p(1); p'(1); p''(1)
Bon, on va sauter cette étape, je présume que le but de la question doit être de nous faire trouver une racine "évidente"

Bah tout simplement en suivant la question 1) que tu n'as pas bien comprise btw

1 n'est pas juste une racine apparente mais une racine double

EDIT: et d'ailleurs si t'as vu que 0 en est aussi une racine, l'exo est bouclé

[Rockleader]

Oui oui, mais ce que je veux dire c'est que le fait de trouver 1 étant racine double ça nous incite à factoriser avant la question qui nous dis de le faire [...] et comme tu dis l'exo est fini.



Ma véritable question c'est pas par rapport au question pure et dure de l'exo.

Oublie les question, oublies la racine que l'on nous montre avec la question.

Si tu avais juste ce polynome tu trouverais les racines comment sans factoriser.

[bentaarito]

la premiere chose qu'on essaye généralement c'est de tester les racines apparentes (elles le sont toutes ici : 0,1,1,2 )

[Rockleader]

Ok. ET si on se rend compte qu'il n'y en as pas des racines évidentes ? A ce moment là on est obligé d'essayer de faire une factorisation en deux polynomes de degré 2 nan ?


Egalement quel est l'intérêt de calculer p' et p" ici ?

Il y a une propriété qui relie les racines des dérivés entres elles ?

[bentaarito]

P(1) = 0 et p'(1) = 0 implique que 1 est une racine au moins double
p"(1) != 0 nous dit qu'elle est juste double

Si les racines ne sont pas apparentes, le plus simple serait évidemment de factoriser par des polynômes diviseurs, sinon on peut aussi utiliser les relations entre coefficents et racines (voir du côté de "formules de Vieta"), parfois utiles et simples à utiliser, d'autant que le degré est pas trop élevé

[Rockleader]

Ok ça marche.

Par contre si on avait eu p(1) = 0 p'(1) != 0 et p"(1)=0

on aurait eu une racine double aussi ou pas ?

[bentaarito]

Ok ça marche.

Par contre si on avait eu p(1) = 0 p'(1) != 0 et p"(1)=0

on aurait eu une racine double aussi ou pas ?

Non du tout! prends l'exemple bête x-1

[Doraki]

T'as jamais remarqué que si P = somme des ai X^i,

0 est une racine k-uple (ou plus) de P
<=> X^k divise P
<=> a0 = a1 = ... = a(k-1) = 0
<=> P(0) = P'(0) = ... = P^{(k-1)}(0) = 0

Et donc pour tout a,
a est une racine k-uple (ou plus) de P
<=> 0 est une racine k-uple de P(X+a)
<=> P(a),P'(a),..., P^{(k-1)}(a) = 0

?