Interpolation polynomiale

par **MC91** » 18 Sep 2013, 20:07

Bonsoir,

Je cherche à comprendre pourquoi une fonction dont on veut faire une interpolation polynomiale doit obligatoirement être continue.

Merci de votre aide, bonne soirée.

par **Joker62** » 18 Sep 2013, 20:34

Hello,

Je dirais peut-être pour avoir un contrôle sur l'erreur ?

par **XENSECP** » 18 Sep 2013, 20:39

Salut,

Un peu de contexte aiderait à répondre à ta question très générale!

par **MC91** » 22 Sep 2013, 11:45

XENSECP a écrit:Salut,

Un peu de contexte aiderait à répondre à ta question très générale!

Désolé, c'est vrai que je n'ai pas beaucoup précisé.
Quand on fait une interpolation d'une fonction f, par la méthode de Lagrange ou bien de Newton, on a toujours une condition qui revient pour pouvoir appliquer ces méthodes : que f soit continue.

J'aimerai comprendre pourquoi ces méthodes ne marchent pas si f n'est pas continue.

Bonne journée

par **Dlzlogic** » 22 Sep 2013, 12:23

Bonjour,
Disons qu'elle doit être continue sur l'intervalle étudié. Les méthodes d'interpolation reviennent en gros à assimiler une courbe à sa tangente. Alors ça me semble évident qu'elle doive être continue.

par **MC91** » 22 Sep 2013, 15:01

Dlzlogic a écrit:Bonjour,
Disons qu'elle doit être continue sur l'intervalle étudié. Les méthodes d'interpolation reviennent en gros à assimiler une courbe à sa tangente. Alors ça me semble évident qu'elle doive être continue.

D'accord, je n'avais pas vraiment vu le lien avec la tangente, mais cela m'aide bien.
Merci!

par **leon1789** » 22 Sep 2013, 15:54

Dlzlogic a écrit:Bonjour,
Disons qu'elle doit être continue sur l'intervalle étudié. Les méthodes d'interpolation reviennent en gros à assimiler une courbe à sa tangente.

à sa tangente ?? pour toi, tous les polynômes sont de degré 1 !?

par **Dlzlogic** » 22 Sep 2013, 16:10

leon1789 a écrit:à sa tangente ?? pour toi, tous les polynômes sont de degré 1 !?

C'est pas parce qu'une courbe admet une tangente en un point que la fonction polynomiale correspondante est de degré 1.
Je répondais dans le contexte cité : méthode de Newton.

par **leon1789** » 22 Sep 2013, 18:04

Dlzlogic a écrit:C'est pas parce qu'une courbe admet une tangente en un point que la fonction polynomiale correspondante est de degré 1.
Je répondais dans le contexte cité : méthode de Newton.

De mieux en mieux : ici, il est question d'interpolation : la méthode Newton n'est pas une méthode d'interpolation...

par **leon1789** » 22 Sep 2013, 18:07

Joker62 a écrit:Hello,

Je dirais peut-être pour avoir un contrôle sur l'erreur ?

je suis presque d'accord avec Jocker.

Rien n'oblige d'avoir une fonction continue pour interpoler : en fait, on interpole en nombre fini des points, donc la continuité est hors sujet a priori. Mais si on veut contrôler la différence entre le polynôme interpolateur et la fonction, alors il faut des hypothèses : classiquement, la continuité n'est pas suffisante, il faut être dérivable n fois (par rapport au degré du polynôme d'interpolation).

par **leon1789** » 22 Sep 2013, 18:11

Dlzlogic a écrit:C'est pas parce qu'une courbe admet une tangente en un point que la fonction polynomiale correspondante est de degré 1.
Je répondais dans le contexte cité : méthode de Newton.

Jsutement, la méthode de Newton, en interpolation, s'intéresse à des polynômes de degré quelconque (pas uniquement en degré 1 et tangente).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_newtonienne
tu donnes l'impression de confondre cela avec la méthode de Newton pour la recherche de solution à f(x)=0...

par **leon1789** » 22 Sep 2013, 18:21

Dlzlogic a écrit:C'est pas parce qu'une courbe admet une tangente en un point que la fonction polynomiale correspondante est de degré 1.
Je répondais dans le contexte cité : méthode de Newton.

Jsutement, la méthode de Newton, en interpolation, s'intéresse à des polynômes de degré quelconque (pas uniquement en degré 1 et tangente).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_newtonienne

> : tu donnes l'impression de confondre notre contexte avec la méthode de Newton pour la recherche de solution à f(x)=0, ce qui n'est pas du tout de l'interpolation...

par **Dlzlogic** » 22 Sep 2013, 18:29

Bon, j'ai peut-être compris l'ambiguïté.
Le terme "interpolation" est utilisé avec 2 sens différents.
J'avoue que le second sens, je l'ai lu dernièrement, et d'ailleurs j'ai déjà oublié.
Donc, si je me suis trompé de contexte, je prie Léon de bien vouloir me pardonner.

par **leon1789** » 22 Sep 2013, 18:59

humm... En maths, le mot "interpolation" n'a qu'un seul sens, c'est visiblement celui que tu as déjà oublié.

En revanche, il existe plusieeurs méthodes de Newton, l'une en interpolation (dont c'est ici le sujet), l'autre pour résoudre f(x)=0 (où on assimile effectivement une courbe à sa tangente), et d'autres encore... Il y a manifestement gourage de contexte, et ce n'est pas une hypothèse. :lol3:

> (comme tu as si bien raconté)
Tant pis pour MC91

MC91 a écrit:D'accord, je n'avais pas vraiment vu le lien avec la tangente, mais cela m'aide bien.
Merci!

par **Dlzlogic** » 22 Sep 2013, 19:28

Il existe l'interpolation linéaire, très connue, l'interpolation bilinéaire moins connue, et je suppose qu'en fait ce sont des cas particuliers d'utilisation de l'interpolation polynomiale (mais ce n'est qu'une supposition).
Si je n'avais pas compris la question, je n'aurais pas répondu. Et il est vrai que pour les 2 interpolations que j'ai citées la continuité est obligatoire, j'ajouterai que la fonction doit aussi être monotone. L'histoire de la tangente, c'était pour donner une comparaison explicative.
Par contre, j'ai probablement fait une erreur d'interprétation à propos de Newton.
Donc encore une fois, je te demande pardon.

par **leon1789** » 22 Sep 2013, 20:13

Dlzlogic a écrit:Si je n'avais pas compris la question, je n'aurais pas répondu.

MDR Ca, c'est vraiment toi.

Tu n'as visiblement rien compris, ni à la question, ni à la discussion. La méthode de Newton en interpolation n'a rien à voir avec le fait d'assimiler une courbe à sa tangente...

Tu as donné une réponse complètement à coté de la plaque à MC91, et vu ton "Si je n'avais pas compris la question, je n'aurais pas répondu", j'imagine que tu en es satisfait. Faire une erreur, ça arrive à tout le monde, pas de souci là-dessus, mais s'entêter dans l'erreur comme tu fais, c'est vraiment toi.

Dlzlogic a écrit:Il existe l'interpolation linéaire, très connue, l'interpolation bilinéaire moins connue, et je suppose qu'en fait ce sont des cas particuliers d'utilisation de l'interpolation polynomiale (mais ce n'est qu'une supposition).

oui, il est clair ce sont bien des cas particuliers, il n'y a que connaître les définitions...

Dlzlogic a écrit:Et il est vrai que pour les 2 interpolations que j'ai citées la continuité est obligatoire, j'ajouterai que la fonction doit aussi être monotone.

archi faux, tout cela n'est en rien obligatoire.
Tu confonds encore une fois la définition d'une interpolation linaire ou bilinéaire et les conditions pour obtenir des résultats particuliers sur ces interpolations.

Dlzlogic a écrit:Par contre, j'ai probablement fait une erreur d'interprétation à propos de Newton.

ok, mais ce que tu dis là rentre en contradiction avec

Dlzlogic a écrit:Si je n'avais pas compris la question, je n'aurais pas répondu.

par **leon1789** » 22 Sep 2013, 20:16

Dlzlogic a écrit:Si je n'avais pas compris la question, je n'aurais pas répondu.
(...)
Par contre, j'ai probablement fait une erreur d'interprétation à propos de Newton.

MDR > :ptdr: C'est d'une logique implacable.

Dlzlogic a écrit:Il existe l'interpolation linéaire, très connue, l'interpolation bilinéaire moins connue, et je suppose qu'en fait ce sont des cas particuliers d'utilisation de l'interpolation polynomiale (mais ce n'est qu'une supposition).

oui, il est clair ce sont bien des cas particuliers, il n'y a qu'à connaître les définitions...

Dlzlogic a écrit:Et il est vrai que pour les 2 interpolations que j'ai citées la continuité est obligatoire, j'ajouterai que la fonction doit aussi être monotone.

archi faux, tout cela n'est en rien obligatoire. Tu veux que je te fasse voir un petit exemple ?
Tu confonds encore une fois la définition d'une interpolation linaire ou bilinéaire et les conditions pour obtenir des résultats particuliers sur ces interpolations.

par **Dlzlogic** » 22 Sep 2013, 20:21

J'ai demandé pardon, ça te suffit pas ?

par **leon1789** » 22 Sep 2013, 20:38

Dlzlogic a écrit:J'ai demandé pardon, ça te suffit pas ?

oui, j'ai bien vu que tu l'as écrit plusieurs fois, et ma foi je suis bien d'accord, tout le monde a le droit de se tromper, moi le premier.
Mais malgré cela, à chaque fois tu en ajoutes une couche, d'où mes réponses à tes réponses...

par **MC91** » 22 Sep 2013, 20:46

leon1789 a écrit:humm... En maths, le mot "interpolation" n'a qu'un seul sens, c'est visiblement celui que tu as déjà oublié.

En revanche, il existe plusieeurs méthodes de Newton, l'une en interpolation (dont c'est ici le sujet), l'autre pour résoudre f(x)=0 (où on assimile effectivement une courbe à sa tangente), et d'autres encore... Il y a manifestement gourage de contexte, et ce n'est pas une hypothèse. :lol3:

> (comme tu as si bien raconté)
Tant pis pour MC91

Si je pensais ne pas avoir compris, je l'aurai dit. Mais apparemment j'avais tort d'après ce que je lis. En tout cas, merci pour toutes vos réponses.

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