Interpolation polynomiale

[benoist--77]

je n arrive pas du tout a faire cette exercice pouvez vous m aider
1)pout tout k de {1,...,n} montrer qu'il existe un unique polynome L_k tel
deg(Lk)<=n-1 Lk(Xk)=1 et pour toutj appartenant à {1,...,n}/{k},Lk(Xj)=0
on donnera l expression factoriseé du polynome Lk
2)Montrer que pour tout P de R_n-1[X], on a P=sum(P(Xk)*Lk,k=1..n)
3)pour tout k de {1...n on pose lk=int(Lk(t)dt de 0 a 1)
P est un element de R_2n-1[X] on sair que l on a l egalite int(P(t)dt de 0 a 1) =sum(lk*P(xk),k=1..n)
prouver que pour tout j de {1...n} lj>0 en posant P=Lj^2
je n arrive absolument pas a avancer sauf pour la question a
merci d avance.
PS bonne annee

[mathelot]

Le polynome P prend les valeurs
aux points
Le polynome est de degré au plus n-1 et prend la valeur en et 0 sur les (n-1) autres valeurs .
tu remarques que dans cette expression, est un polynome tandis que est un nombre.
d'où les polynomes P et prennent
les mêmes valeurs en n points. comme ils sont de degré au plus n-1, ils sont égaux.

[mathelot]

Peux tu préciser les hypothèses de la question (3) ? je ne comprend pas non plus. Ce qui est sûr , c'est que la famille de n polynomes
est une base de l'espace vectoriel des polynomes de degré (n-1).
A la question (3), P est il un polynôme particulier ou un polynôme quelconque de ?

[benoist--77]

il y a une question precedente ou on dit:
Un=X^n*(X-1)^n/n! et Pn est la derive n eme de Un
pour tout k de {1...n on pose lk=int(Lk(t)dt de 0 a 1)
P est un element de R_2n-1[X].prouver que
int(P(t)dt de 0 a 1) =sum(lk*P(xk),k=1..n)

je sais que je dois utiliser la division de p par Pn,P=QPn+R avec deg(Q)et utiliser le fait que pour tout P de R_n-1[X], on a P=sum(P(Xk)*Lk,k=1..n)
.Cela est donner comme indication
merci

[mathelot]

est un polynome de degré 2n-2
Divisons le par comme tu le propose.

où est le reste et donc de degré 0[/TEX]

[benoist--77]

okay c bon j ai compris merci beaucoup

[mathelot]

tu peux m'éclairer ? je n'ai pas réussi à conclure.

[benoist--77]

en je pense qu il faut faire comme cela
on sait int(P(t)dt de 0 a 1) =sum(lk*L(xk)^2,k=1..n)
d ou int(Lj^2(t)dt)=sum(lj*L(xj)^2,j=1..n)
or int(Lj^2(t)dt)>0 je pense qu il faut utiliserle fait que
Lk(Xj)=0 et Lk(Xk)=1
ce qui implique lj>0
je n en suis pas sur

[benoist--77]

il y a encore une autre question sur laquelle je bloque
on reprend les notations des questions precedentes
on considere l approximation int(f(t)dt, de0 à1)=sum(lkf(Xk,k=1..n) ou f:[0,1]-> R est continue
on sait que l approximation est en fait une egalite si f est un polynome de degres<=2n-1
on cherche a etudier la qualite de cette approximation quand f est de classe C2n
4) montrerqu il existe un unique P appartenant a R_2n-1[X] tel ke pour tout k appartenant a {1.....n} P(Xk)=f(Xk) et P'(Xk)=f'(Xk)

je sais ke je dois poser P=QPn+R avec Q,R dans Rn-1[X] et utiliser la question2 mais je n y arrive pas
merci d avance