Intérieur d'un espace vectoriel

par **murray** » 27 Nov 2006, 19:12

bonjour,
je vous soumets l'exercice suivant (très classique en topologie).

soit F un sous espace vectoriel d'un espace E. On suppose F différent de E.
Montrer que F est d'intérieur vide.

par **yos** » 27 Nov 2006, 21:11

Si F contient un ouvert U, il contient aussi 2U, 3U, ...nU, etc., dont la réunion est E.
Dans un evn c'est trivial. Dans un evt, ça doit l'être aussi mais j'ai pas envie de réfléchir.

par **murray** » 05 Déc 2006, 21:49

je ne comprends pas pourquoi la réunion des nU vaut E

par **yos** » 05 Déc 2006, 23:09

U contient une boule B de rayon r non nul. La réunion des nB suffit-elle à te convaincre.

par **murray** » 06 Déc 2006, 15:11

navré, mais je ne vois toujours pas où tu veux en venir

par **fahr451** » 06 Déc 2006, 15:25

voila ce que yos te dit:
si F n 'est pas d 'intérieur vide il contient une boule de rayon r>0 de centre a et par translation( F stable par +) la boule de centre 0 de rayon r
or pour x qq ds E il existe n dans N tel que : norme x < nr donc y = x/n est dans F et y +y ...+y = x est dans F ( F stable par +) et E = F

par **murray** » 06 Déc 2006, 16:24

OK je vois. Merci pour ces précisions.

par **yos** » 06 Déc 2006, 20:31

Imagine une boule qui enfle, qui enfle, ... jusquà occuper tout l'espace!

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