Intégrales généralisées

par **mamas67** » 21 Déc 2014, 11:01

Bonjour,

Je suis actuellement en classe prépa et je galère ( légèrement ) sur un exercice d'intégrales généralisées :

On me demande de prouver la convergence de : intégrale de -inf a +inf de t^n*exp(-t^2)dt
Déjà là, je bloque ... :we:

Un plus loin, on me demande de montrer que : intégrale de -inf a +inf de exp(-t^2)*cos(2xt) converge.
J'ai bien envie d'utiliser les règes de comparaisons ( notamment le "<" ) mais je sais pas si j'ai le droit compte tenu des 2 impropretés en l'infini ...

Si quelqu'un pourrait me dire comment faire, ce serait vraiment un beau cadeau de noel :zen:

par **Joker62** » 21 Déc 2014, 12:10

Hello,

Peut-être peux-tu commencer par distinguer deux cas : n pair / impair.
Tu pourras ainsi te débarrasser du problème en -;) et utiliser les règles de comparaison.

par **zygomatique** » 21 Déc 2014, 12:52

salut

de toute façon

par croissance comparée ....

par **zaidoun** » 21 Déc 2014, 13:42

Salut,

est continue sur R, de plus elle est paire / impaire (selon la parité de n) donc la convergence de votre intégrale est équivalente à la convergence à

, or

d'ou d'après la régle de Riemann, l'intégrale

converge et par suite votre intégrale converge.

par **mamas67** » 21 Déc 2014, 21:05

Super merci beaucoup =) ( je passerai un bon Noël ^^ )
Et juste encore pour la règle de comparaison , qqu pourrait m'éclairer svp ?

par **zaidoun** » 21 Déc 2014, 21:25

Et juste encore pour la règle de comparaison , qqu pourrait m'éclairer svp ?

peux tu préciser ta question? tu veux savoir la règle ou quoi?

par **mamas67** » 21 Déc 2014, 22:39

Oui effectivement ta raison c est pas très clair
Alors je veux montrer que intégrale de -inf a +inf de exp(-t^2)*cos(2xt) converge.

Est ce que je peux dire que*:

exp(-t^2)*cos(2pit) < exp(-t^2) car cos(2pit) < 1

or integrale de -inf a +inf de exp(-t^2) converge
donc par comparaison , integrale de -inf a +inf de exp(-t^2)*cos(2pit) converge
?

par **zaidoun** » 21 Déc 2014, 22:52

non c'est faux, car il faut que les deux fonctions soient positives, qui n'est pas le cas.
La même chose que l'exemple précédent , la convergence de votre intégrale est équivalente à la convergence de l'integrale

(car la fonction est paire)
Or,

Maintenant tu utilises le critère de comparaison, lintégrale est absolument convergente et par suite converge.

par **Luc** » 22 Déc 2014, 08:42

mamas67 a écrit:Un plus loin, on me demande de montrer que : intégrale de -inf a +inf de exp(-t^2)*cos(2xt) converge.
J'ai bien envie d'utiliser les règes de comparaisons ( notamment le "<" ) mais je sais pas si j'ai le droit compte tenu des 2 impropretés en l'infini ...

Salut!

Alors en fait, intégrales impropres ça ne veut rien dire! Plus exactement, les intégrales impropres, ce sont des limites d'intégrales, pas (forcément) des intégrales. La question est donc si tu peux passer un résultat (une inégalité, une valeur...) à la limite, et grâce à quel théorème. La méthode générale d'étude est de regarder :

1. Est-ce que par hasard l'intégrale est absolument convergente? (ici, aucun problème pour considérer l"impropreté" puisqu'on considère des fonctions positives, donc dont l'intégrale sur R existe toujours, elle est éventuellement infinie)
Alors aucun problème, l'intégrale est convergente, on peut passer à la limite.

2. Sinon, Il faut travailler un peu plus et majorer directement l'intégrande, ou utiliser d'autres méthodes.

Ici, on est clairement dans le cas 1 (sais-tu le démontrer?)
Et en bonus, l'intégrale en question se calcule (en fonction de x) assez simplement, en remarquant que

Luc

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