Séries et intégrales généralisées

par **minidiane** » 18 Juin 2007, 08:45

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice j'ai besoin d'aide.

On considère la fonction

Montrer que F est de classe

sur R et que pour tout n appartenant à N on a

Je pense qu'il faut le faire par résurrence mais je n' y arrive pas.
Pouvez-vous m'aider svp?
Merci.

par **nuage** » 18 Juin 2007, 09:34

Salut,
la fonction F est

: dérivation sous l'intégrale (convergente, mais il faut le montrer) d'une fonction

Pour le calcul de la dérivée on dérive par rapport à

la fonction de 2 variables

.

On peut ensuite voir que

Reste à conclure par récurrence.

par **Easyblue** » 18 Juin 2007, 09:35

Bonjour!
A mon avis il faut que tu utilise la formule de trigo:
sin(a+b)=cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a)
En effet, quand tu dérive tu va obtenir par exemple du cos(tx) qui est égal à sin(tx+Pi/2).
Essaye pour le reste ca devrais marcher.

par **minidiane** » 18 Juin 2007, 10:26

Merci à vous deux pour la récurrence c'est bon.
Pour montrer que c'est Cinfini si je dis que c'est Cinfini par composées de fonction cinfin c'est bon ou pas?

par **kazeriahm** » 18 Juin 2007, 10:30

atten si tu as fait la récurrence, tu as déja montré que c'était C infini (vu que c'est le but de la récurrence).

Qu'as tu fait?

par **minidiane** » 18 Juin 2007, 10:36

A oui je suis bête parfois.
J'ai montrer que c'était vrai pour n=1 c-à-d pour F'.
Ensuite j'ai calculer F^(n+1) en dérivant F^n

par **fahr451** » 18 Juin 2007, 10:38

minidiane a écrit:A oui je suis bête parfois.
J'ai montrer que c'était vrai pour n=1 c-à-d pour F'.
Ensuite j'ai calculer F^(n+1) en dérivant F^n

bonjour
il faut justifier cette dérivation sous le signe intégral comme l'a dit nuage

par **minidiane** » 18 Juin 2007, 10:40

ok je fait ça comment?
Je ne vois pas trop.

par **fahr451** » 18 Juin 2007, 10:42

convergence dominée.

par **kazeriahm** » 18 Juin 2007, 10:48

si je puis me permettre fahr c'est pas le théorème de Leibniz plutot ?

par **fahr451** » 18 Juin 2007, 10:52

tu as raison pour le nom mais la justification est bien la domination de la dérivée partielle par une fonction intégrable indépendante de x

par **minidiane** » 18 Juin 2007, 11:35

Je ne vois pas comment faire.
Je ne comprend pas trop le théorème.

par **fahr451** » 18 Juin 2007, 11:43

regarde wikipédia

dérivation sous l'intégrale

par **minidiane** » 18 Juin 2007, 11:54

J'ai cherché dans plusiuers trucs mais je ne trouve pas dans wikipédia pourais-tu m'envoyer le lien stp?
Merci

par **fahr451** » 18 Juin 2007, 11:58

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9rivation_sous_int%C3%A9grale

voila voila

par **minidiane** » 18 Juin 2007, 12:35

Merci fahr451
Je dois prendre quoi comme intervalles?

par **fahr451** » 18 Juin 2007, 12:51

I = R + bien sûr puisqu'on intègre sur R+

et A (notation de wikipédia) en général est un intervalle local centré en x0

mais ici A = R convient .

par **minidiane** » 18 Juin 2007, 12:54

D'accord merci et pour phi je prend quoi ici?

par **fahr451** » 18 Juin 2007, 12:56

phi(t) = t^n / [ exp(t) -1]

par **minidiane** » 18 Juin 2007, 13:11

ok merci fahr451 il me suffit donc de citer le théorème avec I=R+, A=R et phi=t^n/(exp(t) -1).
C'est bien cela?

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