Intégrales généralisées

[Vupen]

Bonsoir,

J'ai besoin d'indices pour les questions 2) et 3) de l'exercice 2.

Merci.

https://mon-partage.fr/f/eKtluP0i/

[adrien69]

Pour la deuxième partie de la 2) c'est simple. c(n) est croissante, de même que f, tandis que 1/(1+a*x) est décroissante pour tout a positif. C'est ton cas de figure.

Pour v(n)=... c'est simplement que sinus est périodique et impaire. On peut donc faire un changement de variables t=... qui va bien marcher.


Pour la 3)

Comme on a v(n+1)
Et il est plus facile de calculer la série des v(n) que celle des u(n) (penser à la suite géométrique)

[Vupen]

Salut,

Pour vn = ... j'ai un peu de mal pour voir comment utiliser la périodicité de sin pour obtenir des bornes entre 0 et pi/2. En effet, on peut remplacer une intégrale d'une fonction périodique de différence d'intervalles = la période par une autre de différence d'intervalles valant aussi la meme période de la fonction à intégrer. Or sin étant 2pi-périodique et pi/2 - 0 = pi/2 (et c(n+1) - cn = pi/2) j'vois pas trop ...

Merci.

[adrien69]

C'est assez bidon vraiment. Comment tu fais pour ramener t de c(n) à 0 ? Ben tu poses x=t-c(n) et tu vois ce que ça donne. La solution la plus simple est souvent la meilleure.

[Vupen]

En effet ... Je te remercie.

[Vupen]

Par contre, |sin(x + c_n)| ne vaut pas tout le temps sin x, cela dépend de la parité de n d'après la formule d'addition.

[adrien69]

Sisi, avec les valeurs absolues sur sin(x) c'est bon. Et après suffit de voir pourquoi tu peux les enlever.

[Vupen]

Hum,



Si , alors

[adrien69]

En effet, j'avais pas fait gaffe. Il y a a priori une erreur d'énoncé. Prends c(n)=n*pi et montre que v(n) c'est l'intégrale de -pi/2 à pi/2. L'encadrement reste le même même si on change c(n).
Et ensuite, avec un argument de symétrie, tu peux montrer que le nouveau v(n) est en fait deux fois celui qu'on te demandait au départ.

Par ailleurs je me suis planté pour la série géométrique. Il suffit en fait d'utiliser l'inégalité du 1),

[Vupen]

J'allais justement proposé cn = n*pi par rapport à un autre exo de TD où on avait fait un changement de variable du meme style avec une intégrale où du sin apparaissait, merci.

[Vupen]

Si on prend ton v_n, on a quand meme un problème pour les bornes en 0 et pi/2, non ? On pose la fonction à intégrer. Elle est clairement -périodique. Comme , on a comme .

Mais pour obtenir les bornes 0 et pi/2, il faudrait que f soit paire, ce qui n'est pas le cas ...

[Vupen]

J'arrive à avoir l'intégrale par changement de variables entre 0 et pi mais pas entre -Pi/2 et pi/2 :cry:

[adrien69]

Comme j'ai dit un peu de merde vu que j'étais pressé, tiens voilà !

https://drive.google.com/file/d/0B4nruLcP3EeSV3VySC1rN25UdGp4eHdsOVhUTlJleWtYek1B/edit?usp=sharing

[Vupen]

Merci pour ton aide mais ... c'est pas mal flou, meme en zoomant. J'arrive pas à voir après le "or" en fait.

[adrien69]

Désolé pour le fait que je n'aie pas été clair.

[adrien69]

Aouch eh bien en gros je sépare en pi/2 à pi
Puis changement de variables x=-pi+t
Puis sin(x+pi)=-sin(x)
Puis y=-x et on est bon.

[adrien69]

Bien sur t=pi-x aurait aussi marché directement. Mais je ne voulais pas aller trop vite pour ne pas me planter.

[Vupen]

Merci pour ton aide.

Entre temps, j'ai au confirmation du prof que était correct, il m'a indiqué qu'il fallait faire deux transformations affines (une translation et une réflexion).

Lorsque n est pair, pas de soucis d'après ce que j'ai dit plus haut. Lorsque n est impair, on applique la transformation de sorte que



On applique ensuite la transformation Je me retrouve avec les bonnes bornes, la bonne expression de la fonction à intégrer à un signe - près (découlant du -).

Où est mon erreur ?

[adrien69]

Dans tous les cas mon truc marche aussi, mais je suis désolé de n'avoir pas pris le temps de l'avoir fait complètement avant de te répondre. Ça m'aurait évité de t'induire en erreur...

Soit tu as inversé les bornes de l'intégrale, soit tu n'as pas pensé à dx=-d;), du moins si je comprends bien ta question.

[Vupen]

Pas de soucis.

Pour la deuxième inversion, , on a comme bornes 0 et pi/2 comme les bornes de l'intégrale après la première inversion sont 0 et pi/2. Du coup, pour n impair,



Je ne vois pas comment me débarrasser du -.