Intégrale de Riemann et de Lebesgue

[jujudu597]

Bonjour,

Je voudrais savoir qu'elle est la différence entre l'intégrale de Lebesgue et celle de Riemann.

L'intégrale de Riemann est bien celle que l'on voit au lycée?

Celle de Lebesgue correspond bien à l'intégrale d'une fonction par rapport à une mesure, mais ou la mesure est celle de Lebesgue?

Si vous avez un exemple d'intégrale de Riemann et de Lebesgue d'une même fonction ou le résultat est différent je veux bien voir cela!

Bon dimanche a tous!

Merci d'avance

[Robic]

J'avais lu quelque part que l'intégrale de Riemann revient à approximer la surface comprise entre l'axe et la courbe par des bâtons verticaux tandis que l'intégrale de Lebesgue le fait avec des bâtons horizontaux.

Si vous avez un exemple d'intégrale de Riemann et de Lebesgue d'une même fonction ou le résultat est différent je veux bien voir cela!

Il me semble que si une fonction intégrable au sens de Lebesgue l'est aussi au sens de Riemann, alors les deux intégrales coïncident. Par contre il existe des fonctions non intégrables au sens de Riemann qui le sont au sens de Lebesgue. Un exemple classique est la fonction indicatrice des rationnels, dont l'intégrale de Lebesgue vaut 0 (tandis que l'intégrale de Riemann n'existe pas).

[busard_des_roseaux]

bonjour,

soit une fonction continue définie sur [a;b]

pour calculer l'aire sous la courbe , on peut découper l'intervalle de définition
[a;b] et construire des rectangles qui vont avec la subdivision de [a;b]
ça donne l'intégrale de Riemann.
L'intervalle image est [m;M], on peut également découper cet intervalle
image. ça donne l'intégrale de Lebesgue.
Quand la fonction est irrégulière, la méthode de Lebesgue est plus générale
que celle de Riemann.
par exemple , pour , l'indicatrice des rationnels,
Lebesgue donne 0 et Riemann donne deux valeurs 0 et 1 donc pas d'intégrale.

[Ben314]

Salut,
Quelques remarques :
- Sur un intervalle compact [a,b], si f est Riemann intégrable, alors elle est forcément Lebesgue intégrable et les valeurs des intégrales sont les mêmes.
- Sur un intervalle non compact, par exemple [a,b[ ou [a,+oo[ on peut définir la notion "d'intégrale généralisées" avec l'intégrale de Riemann (sur [a,b[ on calcule l'intégrale de a à c<b puis on fait tendre c vers b) et, dans ce cas, les fonction positives Riemann intégrables sont forcément Lebesgue intégrable avec des intégrales égales.
Mais il existe des fonctions "oscillante" Riemann intégrable mais pas Lebesgue intégrable (en fait il suffit qu'en valeur absolue l'intégrale fasse +oo. On appelle des fois ça des intégrales "semi-convergentes")
- LE gros intérêt de la théorie de Lebesgue, c'est que la classe des fonctions intégrables est nettement plus pratique à utiliser (stabilité) ce qui fait qu'on a beaucoup plus de théorèmes simple concernant les limites, dérivaton sous le signe somme, etc...